Probleme sur un exercice

[invite0ab60510]

Voila je n'arrive point a faire cette exercice et je voulais savoir si quelqu'un pouvais me l'expliquer , merci d'avance
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[martini_bird]

Bonjour et bienvenue,

le forum n'est pas un solveur d'exercices pour lycéens paresseux.

Merci d'indiquer ce que tu as déjà fait, et où tu bloques, sans quoi ce fil sera fermé.

Pour la modération.

[invite0ab60510]

Pour la

1 ) moi je dirai :
10% des Ville vont en Rural et 80% des Rural reste en Rural.

Donc, si Rn est la population à l'année n, on a
Rn+1 = 0,1Vn + 0,8Rn

c'est à dire, 10% de Vn + 80% de Rn

Donc, si Vn est la population à l'année n , on a
Vn+1 = 0.9Vn+ 0.2Rn

c'est a dire , 90 % de Vn + 20% de Rn

Mais le probleme c'est que je sais pas si c'est ce que je dois mettre dans ma copie ? On dois pas faire une récurrence ?

[invite0ab60510]

2)

Rn + Vn = Constante = 60

D'où comme Vn = 60 - Rn
on remplaces dans Rn+1 = 0,1Vn + 0,8Rn , Vn par 60 - Rn et on a alors :

Rn+1 = 0,1(60 - Rn) + 0,8Rn = 0,7Rn + 6

D'ou comme Rn= 60-Vn
Vn+1 = 0.9VN + 0.2Rn , Rn par 60-Vn et on a alors :

Vn+1 = 0.9 Vn+0.2(60 - Vn ) = 0.7Vn + 12

J'aimerai savoir si je suis dans le vrai ou dans le faux quand meme , merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Salut, Pouarf !

1. C'est simplement la transcription de la donnée en termes mathématiques.

Si chaque année 10% de la ville quittent la ville, il en restera 90%, soit 9/10 de l'année précédente, d'où le 0.9V(n).

En plus, il en vient 20% des ruraux de la campagne vers la ville, soit 1/5, d'où qu'on rajoute (1/5)*V(n).

Idem pour R(n+1)

D'où :

V(n+1) = 9/10 * V(n) + 1/5 * U(n)
U(n+1) = 4/5 * U(n) + 1/10 * V(n)

[En passant, V=U en latin, urbs, is f. la ville ; R en latin rus, ruris n la campagne.]

2. V(n) + R(n) vaut 6*10^7 pour tout n, puisqu'on présuppose une populace totale parfaitement stable et constante.

Comme on parle en million d'habitant, V(n)+R(n) = 60.

V(n+1) = 9/10 * V(n) + 1/5 * U(n) [1]
U(n+1) = 4/5 * U(n) + 1/10 * V(n) [2]

[1] V(n+1) = 9/10 * V(n) + 1/5 * U(n)
= 9/10 * V(n) + 1/5 * (60-V(n))
= 9/10 * V(n) + 12 - 1/5 * V(n)
= 7/10 * V(n) + 12

[2] Raisonnement respectivement similaire.

3. v(n) = V(n) - 40 [1]
et r(n) = R(n) - 20 [2]

je viens de me rendre compte que : V(n) et U(n). Puisque :

(a) : la population initiale des ruraux est double de celle des urbains
(b) : le pourcentage de ruraux quittant le rustique est le double de celui d'urbains quittant l'urbanité.
(a n b) : y en a autant qui vont de la ville vers la campagne qu'inversément.

Conclusion : il n'y a pas d'exode rural ou urbain.

Mais pour en revenir à l'exercice 3.

v(n) = V(n) - 40 [1]
et r(n) = R(n) - 20 [2]

et on a démontré que

V(n+1) = 7/10 * V(n) + 12
R(n+1) = 7/10 * R(n) + 6

... Mais le -40 et le -20 correspondent bien au 40 et 20.

v(n) et r(n) sont des suites à la fois géométriques et arithmétiques.

heu... je vous laisse compléter...

Shokin

[invite0ab60510]

Par contre la 3 , je suis perdu si quelqu'un pouvais m'aider , ceci serai gentil et bien sur verifier ce que j'ai fais au dessus ....

[invite0ab60510]

Je remercie shokin de m'avoir repondu , je vais potasser tous ceci et je vous dis si j'ai tout compris

[shokin]

Pour le 3. [Je ne suis pas sûr que ce soit la bonne voie.]

Mais prenons pour V(n).

On a démontré que :

V(n+1) = 7/10 * V(n) + 12
R(n+1) = 7/10 * R(n) + 6

Or pour une "suite affine" (si on appelle cela ainsi) du type :

U(n+1) = a * U(n) + b

on arrive facilement à la conclusion que :

U(n) = a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

Donc pour V(n) et R(n),

V(n) = (7/10)^n * 40 + 12 * [(7/10)^n - 1)/(7/10 - 1)]
R(n) = (7/10)^n * 20 + 12 * [(7/10)^n - 1)/(7/10 - 1)]

On s'aperçoit que :

Pour tout n, V(n)=2*R(n).

Or la population totale est constante, soit à 60 (mio).

Donc V(n) est constant à 20 et R(n) est constant à 40.

Donc v(n) est constant à 0 et r(n) est constant à 0.

Remarque :

v(n) = (7/10)^n * 40 + 12 * [(7/10)^n - 1)/(7/10 - 1)]-40
r(n) = (7/10)^n * 20 + 12 * [(7/10)^n - 1)/(7/10 - 1)]-20

v(n) est similairement le double de r(n).

Lorsque n égale 0, v(n) = 0 et r(n) = 0.
Lorsque n tend vers +infini, !!! :

v(n) tend vers :

0*40 + 12*[-1/(-3/10)]-40
= 0 + 12 * 10/3 - 40
= 40 - 40
= 0

Raisonnement similaire pour r(n).

Nous en déduisons que v(n) et r(n) sont bel et bien des suites géométriques ET arithmétiques. [arithmétique raison nulle, géométrique, raison indéterminée]

Shokin

[tariq_qui]

Pour 3 on a : quelque soit n entier
v_n+1/v_n= (V_n+1 - 40)/(V_n - 40 )
= (0.7 V_n - 28)/(0.7 V_n-1 -28)
=(V_n - 40)/ (V_n-1 - 40 )
= v_n/v_n-1
d'ou v_n/v_n-1=v_n-1/v_n-2=.....v₁/v₀=cte
alors vn est une suite géométrique
pareil pour (r_n)

* v_n=20.(v₁/v₀)ⁿ
r_n=40.(r₁/r₀)ⁿ

[invite0ab60510]

Et ceci sa marche pour la 3 :

Les suites (vn) et (rn) sont géométriques.
vn = v0(0,9)n

Comme v0 = -20, on a donc simplement vn = -20(0,9)n

Comme Vn = vn + 40 , tu as alors l'expression de Vn en fonction de n.

Vn = -20(0,9)n + 40

Comme (0,9)n converge vers 0 (car |0,9| < 1) , on a alors (Vn) qui converge vers 40

Idem pour Rn

Qu'elle est la meilleur méthode ? pour le 3 , car la premiere et la deuxieme , j'ai fais ça avec shokin que je remercie enormement et qui me donne quelque cours particulier sur msn

[shokin]

A toi de voir quelle méthode tu préfères. C'est très subjectif.

Mais n'exclus aucune méthode. Selon la situation, tu préfèreras l'une ou l'autre. [Comme des fois, je craque pour une pomme à croquer, d'autres fois, je m'arrange pour déguster une orange. Deux méthodes de m'énergiser.]

C'est vrai que c'est particulier, de donner des explications mathématiques par msn. (je n'ai pas encore commencé de rédiger le document que je t'ai promis)

Shokin

[invite0ab60510]

C'est particuier c'est le cas de le dire mais c'est sympa quand meme

[shokin]

Exode rural ou exode urbain ?

Soient deux populations dont l’une urbaine et l’autre rurale.
La population totale est supposée constante (60 millions de personnes).
Soit V(n) la population urbaine (en millions d’habitants), n années après l’année de référence.
Soit R(n) la population rurale (en millions d’habitants), n années après l’année de référence.
V(0) = 20
R(0) = 40
Chaque année, 20 % de la population urbaine se déplace vers la campagne.[1]
Chaque année, 10 % de la population rurale se déplace vers la ville.[2]

1) Montrer que : pour tout entier n naturel non nul, on a :
V(n+1) = 0.9 * V(n) + 0.2 * R(n)
R(n+1) = 0.8 * R(n) + 0.1 * V(n)

Ces deux formules sont simplement la traduction mathématique de la donnée ([1] et [2]).
Chaque année, parmi la population urbaine, 20 % se déplacent vers la campagne et 80 % restent dans la ville. Chaque année, parmi la population rurale, 10 % se déplace vers le milieu urbain et 90 % reste en cette saine campagne.
Ce qui fait que chaque année, la population urbaine est composée de 90 % de la population urbaine précédente + 20 % de la population rurale précédente. De même, chaque année, la population rurale est composée de 90 % de la population urbaine précédente + 10 % de la population rurale précédente.
Imagine-toi des personnes de la campagne étant attirée par le mythe de la ville et des personnes de la ville dégoûtées de ce lieu de pure (sur)consommation, qui plus est, pollué.

2) Que vaut V(n) + R(n) ? En déduire que les suites (Vn) et (Rn) satisfont respectivement lee égalités suivantes pour tout n naturel non nul :
V(n+1) = 0.7 * V(n) + 12 [3]
R(n+1) = 0.7 * R(n) + 6 [4]

V(n) + R(n) est la somme des population urbaine et rurale. Or celle-ci est admise comme constante à 60 millions d’habitants. Donc V(n) + R(n) = 60. Donc V(n) = 60 - R(n) et R(n) = 60 - V(n)
[1] V(n+1) = 0.9 * V(n) + 0.2 * R(n)
V(n+1) = 0.9 * V(n) + 0.2 * (60 – V(n))
V(n+1) = 0.9 * V(n) + 12 – 0.2 * V(n)
V(n+1) = 0.7 * V(n) + 12
[2] R(n+1) = 0.8 * R(n) + 0.1 * V(n)
R(n+1) = 0.8 * R(n) + 0.1 * (60 – R(n))
R(n+1) = 0.8 * R(n) + 6 – 0.1* V(n)
R(n+1) = 0.7 * R(n) + 6

3) Pour tout entier naturel n, on pose v(n) = V(n) – 40 et r(n) = R(n) – 20.
Démontrer que les suites v(n) et r(n) sont géométriques.
Exprimer v(n) et r(n) en fonction de n.
En déduire les expressions de V(n) et R(n) en fonction de n.
Étudier les limites des suites (Vn) et (Rn).

(Vn) et (Rn) sont des suites de types “affines”, où V(n+1)= a * V(n) + b. Dans les suites affines :
V(0) = V(0)
V(1) = a * V(0) + b
V(2) = a * V(1) + b = a * (a * V(0) + b) + b) = a^2 * V(0) + ab + b
V(3) = a * V(2) + b = ... = a^3 * V(0) + a^2 * b + ab + b
...
V(n) = a^n * V(0) + a^(n-1) * b + a^(n-2) * h + ... + ab + b
V(n) = a^n * V(0) + b * (a^(n-1) + a^(n-2) + ... + a + 1)
V(n) = a^n * V(0) + b* [(a^n – 1)/(a-1)] [5]
Le but était d’exprimer V(n), pour tout n, en fonction de V(0), a et b.
Donc dans nos suites (Vn) et (Rn) :
[3] V(n+1) = 0.7 * V(n) + 12.
[5.3] V(n) = 0.7^n * 20 + 12 * [(0.7^n – 1)/(0.7-1)]
Lorsque n ted vers l’infini, V(n) tend vers :
0 * 20 + 12 * [(0 – 1)/(-0.3)]
= 0 + 12 * 10/3 = 40
Donc la population urbaine part de 20 et tend vers 40.
Donc v(n) tend vers V(n) – 40, vers 0, quand n tend vers l’infini.
[4] R(n+1) = 0.7 * R(n) + 6
[5.4] R(n) = 0.7^n * 40 + 6* [(0.7^n – 1)/(0.7-1)]
0 * 40 + 6 * [(0 – 1)/(-0.3)]
= 0 + 6 * 10/3 = 20
Donc la population urbaine part de 40 et tend vers 20.
Donc r(n) tend vers R(n) – 20, vers 0, quand n tend vers l’infini.
Les populations donc tendent à inverser la vapeur.
Le fait que v(n) et r(n) tendent vers 0 quand n tend vers l’infini ne montre pas que (vn) et (rn) sont géométriques (elles pourraient être exponentielles par exemple). Nous allons donc démontrer qu’elles sont géométriques.
On a défini v(n) = V(n) –40 pour tout n naturel. Pour démontrer qu’une suite est géométrique, il faut déjà tout exprimer en fonction du premier terme de cette suite. Or celui-ci est v(n). Nous allons donc tout exprimer en fonction de v(n), à commencer par V(n) :
V(n) = v(n) + 40
V(n+1) = 0.7 * V(n) + 12 = 0.7 * (v(n) + 40) + 12 = 0.7 v(n) + 28 + 12 = 0.7 v(n) + 40
v(n+1) = V(n+1) – 40 = 0.7 * v(n) + 40 – 40 = 0.7 v(n).
Donc, pour tout n naturel non nul, v(n+1) égale v(n) multiplié par 0.7, ce qui correspond bien à une suite géométrique, convergeant vers 0.
On a défini r(n) = R(n) –20 pour tout n naturel. Pour démontrer qu’une suite est géométrique, il faut déjà tout exprimer en fonction du premier terme de cette suite. Or celui-ci est r(n). Nous allons donc tout exprimer en fonction de r(n), à commencer par R(n) :
R(n) = r(n) + 20
R(n+1) = 0.7 * R(n) + 6 = 0.7 * (r(n) + 20) + 6 = 0.7 r(n) + 14 + 6 = 0.7 r(n) + 20
r(n+1) = R(n+1) – 20 = 0.7 * r(n) + 20 – 20 = 0.7 r(n).
Donc, pour tout n naturel non nul, r(n+1) égale r(n) multiplié par 0.7, ce qui correspond bien à une suite géométrique, convergeant vers 0.

Ne relisez pas mes anciens messages. Ils répondent faux à l'exercice.

J'ai ben fait de refaire le tout, quelque chose clochait...

Shokin

[Pierre de Québec]

Vraiment shokin, je suis un peu, mais vraiment un peu dis-je, déçu de ses vulgaires raccourcis du clavier que tu as employer.

Tu aurais du au minimum écrire tout ça en LaTex

[invite0ab60510]

Merci Shokin , j'espere qu'on se reverra sur msn

[shokin]

Vraiment shokin, je suis un peu, mais vraiment un peu dis-je, déçu de ses vulgaires raccourcis du clavier que tu as employer.

Tu aurais du au minimum écrire tout ça en LaTex

Écoute, je devais envoyer la résolution sous forme de document, word j'ai choisi.

J'ai alors simplement copié-collé depuis le document que je lui avais envoyé.

Je ne me suis pas encore mis au latex, faudra ben qu'un jour prochain.

Et j'avons pas qu'ça à fout', d'autant plus que j'ai décidé de réduire mon cybertemps. [Ya pas que les maths ni qu'internet dans lal vie... ]

J'espère que tu as compris ce que j'ai écrit dans mon dernier message, Pouarf, et oublié mes anciens messages complètement erronés (c'est de cela dont tu devrais être déçu, Pierre De Québec ).

Shokin