Voisinage

[invite769a1844]

Bonsoir,

je manque d'idées pour attaquer cet exo:

Soit une partie fermée de . On note l'ensemble des points qui ont dans un voisinage contenu dans un angle de sommet de mesure .
Montrer que est fini ou dénombrable.

Merci.
-----

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

tu as essayé de le voir pour un carré par exemple ?

---
J'ai dit des bêtises...
---

Romain

[Thorin]

C'est quoi la définition d'avoir un voisinage contenu dans un angle ?

[Romain-des-Bois]

Je reviens

Ce sont des idées, et je suis en mode "pas trop rigoureux" Mais je pense que l'essentiel y est (je n'arrive pas au résultat final quand même !)

Prenons un pavé .

Il est clair que pour tout , alors . Par l'absurde, si un tel voisinage existe, alors, il existe un triangle AxB inclus dans , voisinage de , avec l'angle AxB inférieur strictement à .
Donc il existe une boule ouverte centrée en , incluse dans ce triangle, ce qui est impossible.
- - -
Détaillons : par l'absurde, si on a une telle boule de rayon . Prenons I le milieu de , et I' situé sur la demi droite à une distance r/2 de . Alors l'image de I' par la symétrie de centre x est dans la boule mais pas dans le triangle.
- - -

Soit sur la frontière, mais tel que ne soit pas un sommet.
Là aussi, ne peut avoir un tel voisinage. En effet, il existerait un triangle AxB, puis une boule ouverte, et avec un dessin, il est facile de voir que la boule ouverte ne peut pas être incluse dans le triangle (voir dessins 1&2).

- - -
Il reste les 4 sommets, pour lesquels un tel voisinage existe. Si le pavé est noté AxCD. Alors on prend pour angle AxC, le voisinage de x dans A est l'intersection de la partie limitée par les droites (Ax) et (xC) et A. C'est bien un voisinage dans A.
- - -

On l'a pour un pavé, et de la même manière pour tout vrai quadrilatère, et même, en travaillant un tout petit peu plus, pour tout polygone convexe.

Prenons le disque (fermé) de centre 0 et de rayon 1 noté D. On note le polygone régulier à n côtés tel que le cercle de centre 0 et de rayon 1 soit le cercle circonscrit à ce polygone (on commence avec n=3).
Alors .

Alors, si on note l'ensemble des points de la partie fermée qui admettent un voisinage, bla bla bla

On a :
Comme est fini, alors est dénombrable.

Bilan, on a le résultat pour tous les disques et tous les polygones convexes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Les images :

[Romain-des-Bois]

Re !

J'ai dit une bêtise :
D n'est pas égal à l'union des . L'intérieur de , par contre, est égal à l'union des intérieurs des .

En fait, ça n'apporte rien... est vide. (Pour l'intérieur, c'est évident - avec l'union par exemple, ou directement), et pour la frontière, c'est facile aussi (en faisant comme pour les polygones).

Bon, résumons :

et
pour un polygone P convexe à sommets, .


Romain

[invite769a1844]

Bonjour Romain,

merci pour ces réponses et ces jolis dessins

J'en suis à peu près à la même chose. C'est clair que .

On doit même avoir ton résultat pour tout polygone à sommets, doit avoir au plus points. On a le résultat aussi si est une partie de par exemple assez facilement avec .

Mais trouver pour tous les fermés, dans la démo de ces petits cas, je ne vois pas où on utilise l'hypothèse que soit fermée.

[invite769a1844]

Bon je pense avoir trouvé un plan, mais je ne l'ai pas encore écrit.

1) On montre que est séparable.

2) Ensuite on essaie de montrer que l'on peut former une famille de voisinages (dans ) tels que pour distincts, on ait ,
(avec le fait que soit fermé, j'espère que ça marche, mais je ne vois pas de contre-exemple )

3) Par séparabilité de , on aurait alors que est une famille finie ou dénombrable, donc aussi.

Pour après le point 2) je suis pas sûr du tout

[invite769a1844]

C'est quoi la définition d'avoir un voisinage contenu dans un angle ?

Il faut comprendre:

si il existe un triangle de sommet et d'angle au sommet de mesure , et si il existe un voisinage de (dans A) tel que .

[Romain-des-Bois]

Bonsoir !

Tu as avancé dans cet exercice ?

Ton idée me semble plutôt... compliquée Tu l'as trouvé où cet exo ?


Je pense qu'il faudrait arriver à découper la frontière d'un fermé en trois parties :
les segments, les lignes courbes, les points isolés
Ca n'aiderait pas de réfléchir là-dessus ?

Romain

[invite769a1844]

Bonsoir !

Tu as avancé dans cet exercice ?

Ton idée me semble plutôt... compliquée Tu l'as trouvé où cet exo ?


Je pense qu'il faudrait arriver à découper la frontière d'un fermé en trois parties :
les segments, les lignes courbes, les points isolés
Ca n'aiderait pas de réfléchir là-dessus ?

Romain

Je viens à peine de m'y remettre.
Pour l'idée en fait, c'est que l'un des exos qui précède est de montrer qu'une famille d'ouverts disjoints d'un espace séparable est au plus dénombrable.
Je me suis dit que peut être on pourrait l'utiliser ici.

Pour ton idée, je suis partant, mais je ne vois pas trop pourquoi la frontière se divise seulement en ces trois parties

[invite769a1844]

Si on prend par exemple (où est le Cantor triadique),
est un compact (donc fermé) d'intérieur vide (donc ) et je ne vois pas dans quelle catégorie on pourrait placer ses points (ils ne sont pas isolés, pourtant on dirait que si ).

[invite769a1844]

Bon en même temps pour le point 2), ça m'a l'air aussi tendu que le point de départ ,

je regarderai ça demain

[Romain-des-Bois]

Pour ton idée, je suis partant, mais je ne vois pas trop pourquoi la frontière se divise seulement en ces trois parties

Je sais pas, je n'arrive pas à imaginer autre chose...

Si on prend par exemple (où est le Cantor triadique),
est un compact (donc fermé) d'intérieur vide (donc ) et je ne vois pas dans quelle catégorie on pourrait placer ses points (ils ne sont pas isolés, pourtant on dirait que si ).

Pfou ! Pas évident...

Tu l'as trouvé dans le Choquet ?

Bon courage !

Romin

[martini_bird]

Salut,

Si on prend par exemple (où est le Cantor triadique),
est un compact (donc fermé) d'intérieur vide (donc ) et je ne vois pas dans quelle catégorie on pourrait placer ses points (ils ne sont pas isolés, pourtant on dirait que si ).

Pour être sûr que j'ai bien compris, on est d'accord que la partie S associée à cet exemple est les quatre sommets du carré ?

Je dirais même plus : intuitivement, S est l'ensemble des sommets du plus petit polygone contenant A, non ?

Du coup, on pourrait montrer que chaque point de S est isolé, et ce serait fini : ça ne doit pas être très méchant...

En espérant avoir fait avancer le schmilblick...

Cordialement.

[invite769a1844]

Bonjour,

Je sais pas, je n'arrive pas à imaginer autre chose...


Pfou ! Pas évident...

Tu l'as trouvé dans le Choquet ?

Bon courage !

Romin

Lol oui il sort du Choquet, mais en général les exos sont abordables (enfin je veux dire que c'est du niveau de nos feuilles de tds) quand il n'y a pas d'astérisque pour signaler une certaine difficulté (ici il n'y en a pas pour cet exo).
Moi aussi je manque beaucoup d'imaginations, en dehors de ce qu'on a dit j'ai du mal à voir autre chose qui pourrait aider
Merci pour ton aide en tout cas.

Pour être sûr que j'ai bien compris, on est d'accord que la partie S associée à cet exemple est les quatre sommets du carré ?

Je dirais même plus : intuitivement, S est l'ensemble des sommets du plus petit polygone contenant A, non ?

Du coup, on pourrait montrer que chaque point de S est isolé, et ce serait fini : ça ne doit pas être très méchant...

En espérant avoir fait avancer le schmilblick...

Cordialement.

Dans cet exemple , je ne vois pas de quel carré tu parles? et est un ensemble parfait, donc même ses "coins" ne sont pas isolés, non?

[martini_bird]

Dans cet exemple , je ne vois pas de quel carré tu parles? et est un ensemble parfait, donc même ses "coins" ne sont pas isolés, non?

Oups, j'avais lu .

Au temps pour moi.

Bref, ça ne change pas grand chose pour ton exemple, S est les deux points (0, 0) et (0, 1), n'est-ce pas ? (pour tous les autres points x, un cône de sommet x et d'angle < ne contient pas un voisinage de x)

Cordialement.

[EDIT] Précision : quand je parle de points isolés, je parle de ceux de S dans S.

[martini_bird]

Salut,

Je dirais même plus : intuitivement, S est l'ensemble des sommets du plus petit polygone contenant A, non ?

Après y avoir repensé dans le métro, je reviens sur ce que j'ai dit : si A est le cercle, S est vide ; et si A est l'union d'un polygone et d'un segment, S est la réunion des sommets de ce polygone et des extrémités du segment. Donc S n'est pas tout à fait les sommets du plus petit polygone contenant A, mais l'idée est là (enfin, je crois).

Selon moi, il suffit de démontrer que tous les points de S sont isolés dans S (dès lors S est fini si A est compact, et dénombrable sinon).

Supposons donc que S admet un point d'accumulation x, i.e. il existe une suite de points convergeant vers x. Les voisinages de x (resp des ) sont contenus par hypothèse dans des cônes de sommet x (rexp. ) et d'angle < [/tex]\pi[/tex].

Suite au prochain épisode...

Cordialement.

[invite769a1844]

Selon moi, il suffit de démontrer que tous les points de S sont isolés dans S (dès lors S est fini si A est compact, et dénombrable sinon).

Je n'y avais pas pensé, merci

Supposons donc que S admet un point d'accumulation x, i.e. il existe une suite de points convergeant vers x. Les voisinages de x (resp des ) sont contenus par hypothèse dans des cônes de sommet x (rexp. ) et d'angle < [/tex]\pi[/tex].

Là par contre, je ne vois pas où tu veux en venir?

[martini_bird]

Salut,

Là par contre, je ne vois pas où tu veux en venir?

Je commençais la démo, mais je me rends compte que S peut contenir des points d'accumulation : par exemple si , alors S=A...

En même temps, ce genre de phénomène apparaît au plus un nombre dénombrable de fois, mais bon, ça complique bien la chose.

Cordialement.