Système diff

[Quinto]

Salut,
voilà je me posais une question:

Lorsque j'ai un système différentielle du type:
X'(t)=f(t)AX(t)

si je pose que X(t) est du type X(t)=exp(p(t))u avec p une fonction C1 et u un vecteur constant.

Je trouve que

exp(p(t))p'(t)u=Auf(t)exp(p(t) )
Je peux simplifier par exp(p(t)) et je trouve

(A-f(t)p'(t))u=0
Mais cette équation est vraie pour tout t, en particulier, comme A et u sont constants, alors on a forcément que f(t)p'(t) est également constant, constante que j'appelle k.
ainsi p(t)=k*intégrale de dt/f(t)
Mais cette constante est forcément valeur propre de A, puisque l'on a
(A-k)u=0
Ainsi, est ce que je peux affirmer, que les fonctions du type
exp(a*intégrale de (dt/f(t)))
sont toutes solutions de mon système, dès lors que a est bien une valeur propre de A?

Le raisonnement me semble correct, mais ca me trouble malgré tout.
(je pense qu'il faut cependant faire une disjonction des cas pour prouver que p'(t)f(t) est constant, si jamais le produit n'admet qu'un nombre fini de valeurs et que ce nombre est inférieur à l'ordre de A c'est perdu)

Mais sinon, ca tient la route selon vous?
Merci, et à bientot!

-----

[martini_bird]

Salut,

je trouve

(A-f(t)p'(t))u=0

heu... tu veux dire f(t)Au=p'(t)u, non?

(j'ai écrit les vecteurs en gras)

[martini_bird]

En tout cas, il y a quelque chose qui me chiffonne quand tu soustrais une fonction d'une matrice...

[Quinto]

Salut,
je la refais:

Af(t)u=p'(t)u
ainsi (Af(t)-p'(t))u=0

et (A-p'(t)/f(t))u=0 (partout où f est non nulle, mais a priori f est soit nulle partout, soit jamais nulle, sauf erreur(s))
Lorsque je fais la soustraction A-p'(t)/f(t) c'est en fait A-[p'(t)/f(t)]*I qui est sous entendu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

f est une donnée de ton problème, non? Je pense que ton raisonnement est valable dès lors que f ne s'annule pas, donc sur certains intervalles et il faudra peut-être "raccorder" les solutions pour obtenir une courbe X continue.

(En supposant bien entendu que A est une matrice de constantes!)

Bien à toi.

[martini_bird]

Juste pour préciser: on est d'accord que quand tu poses X(t)=exp(p(t))u=h(t)u, tu cherches des solutions très particulières (des droites de direction constante u)?

En d'autres termes, tu n'auras pas toutes les solutions du problème X'(t)=f(t)AX(t).

[Quinto]

Salut,
non je ne recherche que des solutions particulières.
En fait j'avais un exercice sur ce thème où f(t)=1/(t-a) et A une matrice constante.
Le but était de montrer que (t-a)^l.u étaient solutions avec l réel et u vecteur constant.
J'ai utilisé cette méthode et ai trouvé en passant que l était une valeur propre et u un vecteur propre associé à l.
Je voulais juste généraliser et savoir si ma méthode utilisée dans ce cas particulier était bonne.
Cependant, pourquoi ne les aurai je pas toutes?

[martini_bird]

Cependant, pourquoi ne les aurai je pas toutes?

Ben la courbe X(t)=h(t)u est une droite. Si on ne suppose pas que u est constant, on pourrait avoir des courbes plus compliqués, simplement.

Un exemple bêbête: soit et f(t)=1.
On voit que est solution mais ne s'écrit pas X(t)=h(t)u avec u constant.