Système d'equa diff

[invitef9ae0edb]

Bonjour,

Je suis nouveau sur ce forum, je recherche des moyens me permettant de résoudre un système d'équa diff mais ca me parait un peu obscure. Si qqn peut m'aider un résoudre un tel système, je lui serai reconnaissant.

Voici le système en question.
les fonctions sont T1,T2,T3 qui dépendent uniquement de z

(1) A.T1'(z)+B.(T3-T1)+C.(T2-T1)=0
(2) D.T2'(z)+C.(T2-T1)=0
(3) T3(z)=E.z+F

Les coefficients A,B,C,D,E,F sont connus.
Je n'arrive pas à trouver les fonctions T1 et T2.
Je me doute qu'il faut passer les coeff de Fourier mais je suis pas trop à l'aise dessus.

Merci d'y prêter attention
-----

[invitef9ae0edb]

Re bonjour
Pour ceux que ca interesse, j'ai pu trouver les deux fonctions T1 et T2 grâce à d'Alembert.Est-elle exacte ?
Par les coefficients de Fourier est-ce plus précis ?
Mais bon le problème est donc résolu par une approximation, y a t-il moyen d'avoir une solution exacte par d'autres méthodes


Merci beaucoup

[GuYem]

Salut

Ton système m'a l'air tout ce qu'il y a de plus linéaire. De plus T3 n'est pas vraiment inconnue. On doit pouvoir s'en sortir sans utiliser des gros trucs à la Fourier et autres.

Cela dit ce n'est qu'un avis à priori (comprendre à vue de nez), il faudrait le mettre sous forme matricielle pour voir ce qu'on peut faire de la matrice en question.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Bonjour,

Je suis nouveau sur ce forum, je recherche des moyens me permettant de résoudre un système d'équa diff mais ca me parait un peu obscure. Si qqn peut m'aider un résoudre un tel système, je lui serai reconnaissant.

Voici le système en question.
les fonctions sont T1,T2,T3 qui dépendent uniquement de z

(1) A.T1'(z)+B.(T3-T1)+C.(T2-T1)=0
(2) D.T2'(z)+C.(T2-T1)=0
(3) T3(z)=E.z+F

Les coefficients A,B,C,D,E,F sont connus.
Je n'arrive pas à trouver les fonctions T1 et T2.
Je me doute qu'il faut passer les coeff de Fourier mais je suis pas trop à l'aise dessus.

Merci d'y prêter attention

Il me semble que ce système a déjà été proposé par Draune si je ne me trompe pas... et c'était sans suite, il me semble!?!...

M'enfin, bonne chance

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Juste une rectification : a priori ce n'est pas Draune !!...
Mais je ne sais plus qui c'est !
Je l'ai vu, puisque j'avais essayé de le résoudre mais j'ai été très vite limité !

Duke.

[GuYem]

Ce système est linéaire : prenons la matrice M



Je sais pas faire les matrices

Alors on voit que le vecteur s'écrit



Avec B le second membre qui vaut

(T_3 n'est pas inconnue)

Il suffita lors de regarder les valeurs propres de cette matrice, de diagonaliser si possible pour obtenir, dans une nouvelle base, une expression simple des solutions de l'équation homogènes. Ensuite on trouve une solution particulière pour terminer.

Bon tout cela reste de la théorie ; en particulier la partie diagonalisation. mais avec les valeurs génériques de ABCD, les calculs sont fastidieux et je ne crois pas que M soit inversible pour tout ABCD.

[invitef9ae0edb]

Salut,

j'avais déjà essayé de mettre le problème sous forme matricielle avec les vecteurs dérivees et fonctions, on obtient bien un système matricielle linéaire comment peut-on le résoudre la je vois pas.

Duke, tu étais limité à partir de quelle instant (la détermination des constantes, ou la détermination des fonctions)

[GuYem]

Comme je t'ai dit on peut résoudre le système matriciel (homogène) sous reserve de pouvoir diagonaliser la matrice ; donc ça dépend des coeffs A, B, C, et D.

Si tu nous donnes un exemple avec des vrais coeffs on pourra essayer de voir ce que l'on peut faire pour la résolution.

Remarque bien qu'aprés il faudra encore trouver une solution particulière, ce qui n'est pas gagné. Encore une fois avec des vrais coeffs ce sera plus ou moins dur selon ces coeffs.

(J'ai dit beaucoup de fois "coeffs", je cherche à battre un record. Coeffs Coeffs..)







Coeffs

[invitef9ae0edb]

Voici les valeurs des coefficients :
A = 23000
B /C = 0.1
C = 75000
D = 15000
E = 56
F =4

[GuYem]

Bon vu ces coeffs la matrice est diagonalisable donc on peut résoudre en faisant changement de base et tout le tralala.

Seulement les calculs sont embétants.

[invitef9ae0edb]

Je veux bien te croire que pour croire que pour diagonaliser cette matrice c'est embetant.
Mais ce que je vois pas, c'est après avoir opéré le changement de base, tu peux appliquer direct le système (g des doutes la dessus)
Ce serait pas aussi simple

Et meme comment tu trouves ta fonction qui satisfasse
T'=M.T + B
B (constante en fonction de T3,et coeff)
Pour moi ca me parait aussi évident que ca :
t'as le systeme, tu diagonalise et tu resous une a une, ca me parait trop simple (et il me semble que ce système est utilisé pour des modes vibratoires qui n'est pas mon cas)

[GuYem]

Aprés avoir appliqué le changement de base, tu te trouves avec un nouveau vecteur qu'on va appeler U et U' le vecteur avec ses dérivées qui vérifie

U' = DU

Avec D diagonale. d_1, d_2 les coeffs (!) sur la diagonale.

Et donc ton système c'est u'_1 = d_1 u ; u'_2 = d_2 u. Ca se résoud méga facilement avec des exponentielles. Donc tu obtiens l'expression de u_1, u_2.
Ensuite tu rechanges de base (dans l'autre sens) et tu trouves les expressions de T_1 et T_2.

Ensuite comme tu le fais remarquer, en faisant je ne résoud que le système homogène. Il faut aprés trouver une solution particulière ce qui n'est pas chose aisée.

[invitef9ae0edb]

Je suis d'accord avec toi, si on considère un système homogène, la solution est bien de la forme exponentielle.
Pour la solution particulière si on connait des conditions aux limites on pourrait surement trouver la fonction qui serait sans doute une combinaison linéaire d'exponentielles non ?

[GuYem]

Pour la solution oparticulière (je vais encore te sortir un truc méga théorique que tu vas avoir trop de mal à appliquer ici ) une variation de la constante devrait faire l'affaire.

Et effectivement tu te retrouveras avec des combi linéaires d'exponentielle (en fait une combi linéaire de T_1 et T_2) comme solution particulière

[invitef9ae0edb]

Connaitrais tu par hasard auter cette méthode assez lourde de calcul et de recherches de solutions particulières de manière simple et surtout exacte.

Car la méthode de D'alembert, j'applique et ca marche plutot bien, malgré qu'il y a une étape de cette méthode que je comprends pas.
Donc si tu connaitrais autre chose, que par une methode matricielle.

[GuYem]

Alors là tu me colles.

Tout ce que je sais faire avec les équa diffs c'est les mettre sous forme matricielle si possible, réduire la matrice pour résoudre le système homogène et enfin faire varier la constante pour trouver une solution particulière.
En gros tout ce que je t'ai dit

Sorti de là je suis nul. Sorry