vecteurs sécants & prises de chou

[inviteec24b755]

Bonjour,

je suis actuellement sur le développement d'un projet scolaire à rendre pour l'année prochaine ( je suis en BTS informatique ), et j'éprouve quelques problèmes à réutiliser mes - faibles - acquis en mathématiques.

explications : je dispose d'un segment dans un plan en 2 dimensions qui est un vecteur aux coordonnées variables, je voudrais pouvoir savoir deux choses avec ce vecteur :

1° savoir s'il est sécant avec un autre vecteur, auquel cas, comment dois-je déterminer le point d'intersection des deux vecteurs?

2° savoir si un point de coordonnées(x;y) se trouve sur ce vecteur.

voila pour mon petit problème...

en espérant que quelqu'un puisse me filer un coup de main ^^

merci d'avance!!
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[FonKy-]

Je crois que ya un gros probleme de vocabulaire deja , non ?
Tu parle de choses qui ne peuvent pas se produire. Mais vaut mieux que qqun confirme avant que je sois plus ridicule que la

[inviteec24b755]

hum... je ne sais pas si j'utilise le vocabulaire exact, mais deux segments peuvent être sécants, normalement.....

de même qu'un point peut être sur un segment...


non?

[Thorin]

Mais pas 2 vecteurs

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Pour savoir si 2 segments se coupent, je pense que le plus simple est de :
1) trouver les équations des 2 droites auxquelles ces segments appartiennent
2)trouver l'éventuel point d'intersection de ces 2 droites (ça, c'est facile quand on a les équations)
3)voir si l'éventuel point trouvé appartient bien aux 2 segments.

Au niveau informatique, si tu dois programmer, tout cela doit être assez facile à faire.

Je suis parti de l'hypothèse que les données que tu as sur les segments sont les coordonnées des extrémités de chacun.

[ericcc]

Je pense que l'idée de Thorin est la bonne, mais j'essaierai plutôt de paramétrer ton segment, disons AB, sous la forme M=A+tu, où t varie sur un intervalle de IR, et u est le vecteur directeur de la droite qui porte le segment, et M un point quelconque du segment.

Pour un point donné, il est immédiat de voir alors s'il appartient à ton segment.

[inviteec24b755]

Pour savoir si 2 segments se coupent, je pense que le plus simple est de :
1) trouver les équations des 2 droites auxquelles ces segments appartiennent
2)trouver l'éventuel point d'intersection de ces 2 droites (ça, c'est facile quand on a les équations)
3)voir si l'éventuel point trouvé appartient bien aux 2 segments.

Au niveau informatique, si tu dois programmer, tout cela doit être assez facile à faire.

Je suis parti de l'hypothèse que les données que tu as sur les segments sont les coordonnées des extrémités de chacun.

tout cela est exact, en fait, c'est même la question que je posais ( mal, j'avoue ) ce qui me manque, c'est juste les calculs qui permettent de dire si deux segments sont sécants ou non...

en fait, j'ai les equations, mais je ne sais pas comment savoir si elles se coupent, et en quel point...

effectivement, chaque segment est repéré par ses coordonnées aux extrémités...

merci pour toutes vos réponses!! ^^

[Thorin]

L'équation de la première droite est de la forme y=ax+b
Celle de la deuxième : y=cx+d

Supposons c différent de a.
Un point de coordonnées (x,y) appartient à l'intersection des deux droits si et seulement si :

ax+b=cx+d
et y=ax+b

<==>

x(a-c)=d-b
et y=ax+b

<==>

x=(d-b)/(a-c)
et y=ax+b

<==>

x=(d-b)/(a-c)
et y=(a*(d-b)/(a-c))+b

<==>

x=(d-b)/(a-c)
et y=(ad-bc)/(a-c)

Voici les coordonnées du point d'intersections des droites.

Il suffit ensuite de voir s'il appartient au segment.

Et de traiter le cas ( plus simple) où a=c

[inviteec24b755]

merci beaucoup!!!

c'est exactement ce dont j'avais besoin ^^

[ericcc]

Cette méthode ne me parait pas optimale : tout d'abord elle ne marche pas pour des segments verticaux, qui ne se mettent pas sous la forme y=ax+b; ensuite elle implique de trouver le point de croisement des deux droites et de vérifier ensuite s'il appartient au segment considéré.
Je préfère la méthode paramétrique : soient A(xA,yA) et B(xB,yB) les coordonnées des extrémités du premier segment. Tout point M du segment AB a pour coordonnées xM=xA+t(xB-xA) et yM=yA+t(yB-yA) avec t appartenant à [0,1].

Pour savoir si un point quelconque de coordonnées (X,Y) appartient au segment, on résout les équations en t X=xA+t(xB-xA) et y=...
Si ces deux équations donnent une même valeur pour t, comprise entre 0 et 1, alors le point appartient au segment. Si on a une même valeur pour t, mais en dehors de l'intervalle [0,1], alors le point est sur la droite qui porte le segment, mais en dehors du segment. Si on n'a pas la même valeur pour t, alors le point est en dehors de la droite.

Pour résoudre le problème de l'intersection des deux segments, tu écris
M1=A+t1AB qui est l'équation de ton premier segment, avec t1 appartenant à [0,1]; puis M2=C+t2CD qui est l'équation de ton deuxième segment, avec t2 dans [0,1]

Pour que les segments se croisent il faut que tu trouves une valeur de t1 et de t2 telle que M1=M2.

[Thorin]

Il y a effectivement moins de cas à traiter.