règle de Bioche

[invitec0f6d102]

Bonjour à tous !
Etant en prépa, on nous a donné moults exercices pour nos vacances, histoire de ne pas perdre la main.
Cependant, le niveau est plutôt élevé et certaines choses sont carément atroces.
J'ai une première question : je dois trouver l'intégrale de 1/(2+sin(x)), j'ai donc tout de suite pensé aux règles de Bioche mais je n'y arrives pas.
La fonction est invariante par changement de x en Pi-x donc je fais u=sin(x) ie du=cosx dx.
Mais comment faire pour remplacer dans l'intégrale (le cos(x) me pose soucis) ?
Deuxième question : formule de Taylor reste intégral : on me demande de montrer que : exp(x)=lim(Sum(x^k/k!),k=0,n).
Un petit indice (je ne demande pas la résolution complète mais juste quelquechose qui pourrait me débloquer).
Merci (je posterais sûrement d'autres questions vu le niveau de difficulté de ce travail...).
@+
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[Thorin]

Es-tu bien sûr que la fonction est invariante par pi-x ?
Je te rappelle que dans le cadre des règles de bioche, il faut aussi compter le dx, qui est ici un "-dx"...et ce n'est donc pas invariant.

Je crains que...tan(x/2) soit nécessaire.

[Thorin]

Pour taylor :

c'est une bête application du cours :
on écrit que e^x - (somme pour k de 0 à n de ( x^k*e^0/k!))=intégrale de....


Puis, on passe à la limite quand n tends vers l'infini
A gauche, c'est directement ce qu'on cherche, à droite, il n'y a pas grande mystère sur le calcul de cette petite intégrale.



Thorin.

[Thorin]

PS : je précise concernant l'intégrale, pour ne pas t'envoyer sur de fausses pistes ; quand je dis qu'il n'y a pas de mystères sur le calcul de cette petite intégrale, c'est parce qu'il y a pas besoin de la calculer explicitement, il suffit de la majorer par quelque chose qui tend vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec0f6d102]

Merci à toi Thorin
Je n'espérais pas une réponse aussi rapidement mais c'est tant mieux.
Concernant la règle de Bioche, j'avais effectivement oublié le dx, c'est tout de suite plus facile avec tan(x/2) !!
Pour la formule de Taylor, je vais essayer ça et je te dis si j'ai réussi (on ne s'est pas beaucoup entrainé là-dessus cette année...).
@+

[invitebb921944]

Bonjour,
Je voudrais juste répondre à une de tes questions :
Tu peux tout à fait exprimer cos(x) en fonction de u en utilisant les formules trigos classiques, par exemple : cos²+sin²=1.

[invitec0f6d102]

Seconde question : après recherche préalable sur internet, je n'ai rien trouvé concernant cet exercice et le type de résolution nécessaire.
Les sommes de Riemann : sur une somme je sais le faire, mais là, il s'agit d'une multiplication !
Produit(1+k²/n²)^(1/n). On me demande de trouver la limite de cette chose.
Quelle est la méthode à appliquer (celle pour les sommes ne me mène à rien...) ?
Concernant l'exo précédent, tout est clair maintenant ! Merci à vous

[ericcc]

EN général pour transformer un produit en somme, on prend le logarithme.

[invitec0f6d102]

Merci de l'astuce ericcc, je vais regarder ça !
@+

[invitec0f6d102]

Voilà, les exos arrivent à a patie très théorique des espaces vectoriels : là aussi ça coince...
f et g sont deux endomorphismes tq fog=0 et f+g est inversible.
Je dois montrer que Ker f = Im g :
Im g inclu dans Ker f, ça j'ai réussi à montrer (fog = 0, donc pour tout x de l'espace euclidien, f(g(x))=0 donc g(x) appartient à Ker f...
Par contre, la deuxième inclusion est plus complexe : je me suis servis de la deuxième propriété mais je bloque : j'en suis là : comme f+g est inversible, il existe h telle que (f+g)oh=ho(f+g)=id.
Soit x appartenant à Ker f : on a donc f(x)=0 d'où f(h(x))+g(h(x))=h(g(x))=x.
Mais après, je ne sais plus par où partir.
Il faudrait que je montre que f(h(x)) est nul, comme ça on a bien x=g(quelquechose).
Merci de vos conseils !

[invite18e208e2]

Je montre ça pour x = 1, i,e e = lim(Sum(1/k!),k=0,n), et je vous laisse la suite :
Remarquons d’abord que e = lim (1+1/n) ^ n, lorsque n tend vers + inf.
Ou encor e = lim(1+k) ^ (1/k), lorsque k tend vers 0.
En effet, lim ln ((1+k) ^ (1/k)), lorsque k tend vers 0 = 1.
En utilisant le binôme de Newton pour développer (1+1/n) ^ n
(1+1/n) ^n = 1+n (1/n) + n (n-1) (1/n) ^2/1.2 + n (n-1) (n-2) (1/n) ^3/1.2.3+…+n(n-1)(n-2)…1(1/n) ^n/1.2.3…n.
= 1+1+ (1-1/n) (1/2 !)+ (1-1/n) (1-2/n) (1/3 !)+…+ (1-1/n) (1-2/n)… (1-(n-1)/n)(1/n !)
Laisse tendre n vers + inf :
Pour tout k : (1-1/n)(1-2/n)…(1-k/n)(1/k !) tend vers 1/k !
Donc e = lim(1+1/n) ^n = 1+1/2 !+1/3 !+…+1/n ! Lorsque n tend vers + inf .CQFD.
On remarque que (1+1/n) ^n < 3 car
(1+1/n) ^n < 2+…+1/n ! < 2+1/2+1/(2^2)+…+1/(2^(n-1)) car 1/n !≤1/(2 ^(n-1)), et Sum(1/2^k),k=0,n)= 1-1/(2^(n-1))<1.

[invitec0f6d102]

Je me permet de faire un petit up pour la dernière question que j'ai posée sur ce topic. J'ai beau essayer toutes les méthodes, je n'aboutit jamais à l'inclusion voulue...
Quelqu'un saurait-il comment faire ?

[Thorin]

Un coup de théorème du rang est souvent salvateur :

Ici, toutes les inégalités seront larges.


Il est (presque) évident que Im(f+g) inclus dans (Im f + Im g)
D'où : Dim(Im(f+g)) < Dim(Im f + Im g) < Dim(Im f) + Dim(Im g) (Grassman)
De plus, Dim(Im(f+g)) = Dim E, puisque f+g est inversible.

D'autre part, nous avons que Im g inclu dans Ker f
D'où Dim(Im g) < Dim(Ker f)
Et par le théorème du rang : Dim(Im g) < Dim(E)-Dim(Im(f))
D'où Dim(Im g) + Dim(Im(f)) < Dim(E)

tout cela mis à bout, on a :
E < Dim(Im f) + Dim(Im g) < E
Donc Dim(Im f) + Dim(Im g) = Dim(E)

Comme Dim(E)=Dim(Im f)+Dim(Ker f), on a :
Dim(Im f) + Dim(Im g) = Dim(Im f)+Dim(Ker f)

D'où Dim(Im g)=Dim(Ker f)
Comme on a déjà une inclusion, cette égalité de dimension prouve l'égalité des espaces.

Thorin, en espérant que ce soit juste.

[invitec0f6d102]

J'ai l'impression que ça tient bien la route ton explication !
Juste une petite précision : pourquoi dim(Im(f+g))=dim(E) parce que f+g est inversible ?? J'essaye de comprendre mais en vain...
Un grand merci pour ton aide, tu viens de me sauver la vie (enfin j'exagère peut êre un peu, les exos que j'ai à faire ne sont pas piégé si on n'arrive pas à les faire ).
@+

[invitec0f6d102]

Ajout : c'est bon, j'ai trouvé, victoire !! Enfin je pense...
C'est bien parce que : pour tout x de E, (f+g)o(i(x))=x donc Im((f+g))=Im(x)=E ?? i est l'application réciproque de f+g.

[Thorin]

Pour moi, le plus simple est de dire que si elle est inversible, elle est injective, donc, le ker vaut 0, donc, sa dimension est nulle...

[invitec0f6d102]

Ah ouais, pas bête ça ! Faut pas chercher midi à quatorze heure non plus...
Tant que j'y suis, il me faudrait encore une petite aide (juste un petit indice ce coup-ci ) : E,F deux K-ev de dim finies, G un ssev de E et
A={u in L(E,F)|G inclu Ker(u)}
J'ai montré que A est un ssev de L(E,F) mais on me demande de déterminer dim(A).
J'ai donc tout de suite pensé à utiliser la formule du rang : dim A = dim Ker u + dim Im u...mais comment faire pour les déterminer ??
Etant donné qu'on a vraiment aucune données (exos bien théorique), je ne vois pas par où partir).
Astuce ?
Merci beaucoup pour votre aide et désolé de vous harceler mais la plache d'exo est somme toute assez ardue, et très peu expliquée (on nous donne juste une question par exos, rien pour nous guider).
@+

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

tu n'appliques pas bien le théorème du rang :

Si (E ev de DF, et u dans L(E,F))
alors

ce qui n'est pas exactement ce que tu as écrit


Quelle est la dimension de L(E,F) ?

[invitec0f6d102]

Ah oui, oups, me suis trompé
Si je ne me trompe pas, dim L(E,F)=dim(E)*dim(F) !
Le problème qui se pose est surtout le "G inclu dans Ker u", ça va réduire la dimension de A si je comprend bien ?
Merci beaucoup !

[Romain-des-Bois]

Salut,

tu peux raisonner en utilisant les matrices.

Soit

G est un sev de E, il existe donc une base de E formée par la concaténation d'une base de G (dim(G) vecteurs), et... quelques autres (dim(E) - dim(G) vecteurs).
Notons : , ,
est une base de G
On complète cette base en une base de E :


si tu écris la matrice de dans cette base, que constates tu ?

 Cliquez pour afficher

tu constates que les g premières colonnes sont remplies de 0

Et tu devrais facilement en déduire la dimension de A.

Romain

[invitec0f6d102]

D'accord !! Là c'est bien compris (on a les g premiers vecteurs de la base qui appartiennent à G donc quand on leur applique u, ça donne le vecteur nul).
Donc cela nous donnerait au final dim A = m-g (si j'ai bien compris) ??
En tout cas, merci d'avoir répondu aussi rapidement et aussi clairement !
@+

[Romain-des-Bois]

Donc cela nous donnerait au final dim A = m-g (si j'ai bien compris) ??

Non, tu n'y es toujours pas Une fois que tu as vu que tes g premières colonnes sont pleines de 0, combien reste-t-il de "cases à remplir" dans ta matrice ?

[Thorin]

Donc cela nous donnerait au final dim A = m-g (si j'ai bien compris) ??

Dans ce cas si dim(g)=0, on a dim(A)=m, ce qui est faux, puisque si dim(g)=0, A=L(E,F)

[invitec0f6d102]

Honte à moi, j'ai oublié le *p dans ma réponse (pourtant je l'avais écrit sur ma feuille ).
Ca fait dim (A) = (m-g)*p ! S'il vous plaît, ne me dites pas que ce n'est pas ça, je vous en conjure !!!

[Romain-des-Bois]

Honte à moi, j'ai oublié le *p dans ma réponse (pourtant je l'avais écrit sur ma feuille ).
Ca fait dim (A) = (m-g)*p ! S'il vous plaît, ne me dites pas que ce n'est pas ça, je vous en conjure !!!

C'est ça !

[Thorin]

Maintenant, il faut aussi savoir pourquoi est-ce qu'on a le droit de raisonner sur les matrices, Blackhawks ;p

[invitec0f6d102]

Il me semble que L(E,F) et M_n(K) sont isomorphes. Or deux espaces isomorphes ont même dimension. On a donc dim(A)=dim(Mat(u)). (je ne sais pas si c'est la bonne écriture pour Mat(u) par contre ! ).
J'ai tout bon ou je n'ai vraiment rien compris ??

[Romain-des-Bois]

Il me semble que L(E,F) et M_n(K) sont isomorphes.

Non pas vraiment... mais presque

Par contre, on a :

 Cliquez pour afficher

Si et sont deux -ev de dimension finie, de dimensions respectives m et p,
alors est isomorphe à

EDIT : mais Thorin chipote un peu On identifie tout le temps les matrices et les applications linéaires sans le justifier. Mais il faut quand même être capable de le faire !