Probleme avec un systeme de congruence (theoreme chinois)

[invite58b84884]

Bonjour,
mon probleme est que je voudrais montrer que le systeme de congruences simultanées:

n=1 mod 4
n=3 mod 6
n=4 mod 13

équivaut au systeme:

n=9 mod 12
n=4 mod 13

...donc partant de l'algorithme d'Euclide, je m'occupe du sous systeme:

n=1 mod 4
n=3 mod 6

qui devrait me donner:

n=9 mod 12

mais le pgcd(4,6)=2 car d'apres l'algorithme d'Euclide: 6=4*1+2 donc 2 est le dernier reste non nul donc le pgcd de 4 et 6, or mon exemple de cours fonctionne avec le pgcd(a,b)=1 (theoreme chinois) autrement dit que a et b sont premiers entre eux, donc je voulais savoir comment resoudre ce probleme, en vous remerciant d'avance.
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[invité576543]

n=1 mod 4
n=3 mod 6

Une méthode consiste à montrer que cela est équivalent à

n=1 mod 4
n=0 mod 3

Cordialement,

[invite58b84884]

Merci de ta reponse Michel mais en admettant le systeme equivalent que tu me donnes (que je n'aurais pas trouvé), subsiste un probleme;

La solution est de la forme n=x0 mod M avec:
M=4*3=12 ce qui semble correct
mais j'ai du mal à trouver x0...

...on a bien 4 et 3 premier entre eux car pgcd(4;3)=1, ensuite on utilise l'algorithme d'Euclide: 4=3*1+1 , alors 1=4-3*1 ou 1=4*1+3*(-1)
Donc (si je ne me trompe pas!!) x0=4*1*0+3*(-1)*1=0-3=-3 ce qui n'est pas 9

[invite57a1e779]

M'enfin !!! ...

[A voir en vidéo sur Futura]