Problème avec équation et congruence

[invite29e3e540]

Bonjour à tous.
Alors en fait, je bloque sur la correction d'un sujet d'olympiade française de math.
http://www.animath.fr/old/tutorat/dossier_05063.html

C'est sur le premier exercice :

Trouver tous les couples (p,q) de nombres premiers vérifiant :


Donc j'ai regardé la correction qui est là : http://www.animath.fr/old/tutorat/dossier_05063sol.pdf

Dès le début, il y a marqué que : Modulo q, l'équation devient p^3 est congrus à p^2 mod q
Donc voilà, je comprend pas du tout, comment l'équation devient comme ça, si quelqu'un pourrait m'éclairer ^^
Merci d'avance.
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[Hamb]

tu remplaces q par 0 tout simplement.

[invite29e3e540]

Lol, ok je vois.
Et autre chose si possible.
De a*q est congrus à 2q mod q²
Si on divise "dans le modulo, le q² par q", on doit aussi diviser le "a*q" et le "2q" par q ? On a le droit de faire ça ?

[invite29e3e540]

Oups j'ai oublié de dire, c'est pour aboutir à "a est congrus à 2 mod q"

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

Je ne peux pas t'aider pour ca, je ne m'y connais pas trop, mais je crois que pour simplifier dans les congruences y'a des histoires de nombres premiers entre eux.

[invité576543]

De a*q est congrus à 2q mod q²
Si on divise "dans le modulo, le q² par q", on doit aussi diviser le "a*q" et le "2q" par q ? On a le droit de faire ça ?

Pour vérifier, tu reviens aux définitions :

Dire aq=2q modulo q², cela veut dire qu'il existe n dans Z tel que aq+nq² = 2q

De là on déduit, puisque q n'est pas nul, que a+nq=2, ce qui implique que a=2 modulo q

Cordialement,

PS : Je donne une solution, là. Mais si tu cherches à faire des exo des olympiades, un raisonnement comme celui ci-dessus devrait être un automatisme acquis au préalable. Je te suggère de faire des exercices plus simples sur les congruences, jusqu'à ce que tu les maîtrises.

[invite29e3e540]

Mmh, dommage c'était pas dans le cours du site xmath ça...
En fait je passe en terminal et j'aimerais juste connaître l'arithmétique de terminal assez bien, enfin plus même !
Et dans le cours, il n'y avait pas d'exo de ce type...

Vous auriez pas des exos du même type moins compliqué ?

[invite743cfa65]

Bonjour,

j'ai des difficultés avec la congruence, je n'ai compris que la définition.
ça veut dire quoi la terminologie "modulo q l'équation" ?
Déjà "modulo q" n'a pas de sens hors "congru modulo q" il me semble.
Alors si en plus au lieu de dire "a et b sont congrus modulo q" on me dit "modulo q l'équation" je n'y comprends rien.

Puis "il suffit de faire q = 0". Cela résulte de "modulo q l'équation" sans doute. Mais je ne vois pas pourquoi on a le droit de faire q = 0.
Après avoir fait q = 0 il reste p^3 = p^2 et je comprends pas non plus pourquoi p^3 congru p^2 modulo q alors qu'il ne reste plus de termes en q.

j'ai des grosses lacunes, comme vous voyez, que j'aimerais combler.

salutations

[bubulle_01]

Dire que l'on étudie une équation modulo revient à dire que l'on étudie le reste de la division (euclidienne) par des termes de l'équation.
Tout multiple de est divisible par . Par conséquent le reste de cette division est .
On peut donc dire que est congru à modulo
Après, il faut bien faire attention : signifie que et ont même reste dans la division par et non que est le reste de .
J'espère avoir été compris, si tu as des questions, n'hésites absolument pas