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Sortir des fonctions d'un intégrale ?



  1. #1
    Mataka

    Sortir des fonctions d'un intégrale ?


    ------

    Bonjour !

    J'aimerais savoir sous quelle condition je peux sortir des fonctions d'un intégrale ; par exemple sous quelle condition je peut faire quelque chose comme



    Ou encore de facon plus generale (c'est ce qui m'interresse vraiment :



    Merci !

    -----
    Dernière modification par Mataka ; 04/08/2008 à 23h38.

  2. #2
    Thorin

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Pourquoi aurait-on le droit de faire ça ?
    (j'attends la réponse de quelqu'un de compétent, mais je ne vois pas en quel honneur on pourrait faire ce genre chose...)

  3. #3
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Ben je crois que c'est legal des fois ... simplement parceque :



    Pis tu peux essayer le premier exemple que j'ai donne tu va voir que va marche tres bien ...

  4. #4
    Thorin

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    effectivement, ça marche sur le premier exemple, amusant.

    en revanche, dans ton cas général, je ne vois pas quel sns tu attribues à parler de

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Scorp

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Ton intégrale est une intégrale à paramètre (tu intégre une fonction de deux variables [s, w]) sur une seule d'entre elles, ici s)
    Si tu veux alors faire "entrer" la dérivation sous le signe intégrale, il te faux utiliser un théorème (théorème de dérivation des intégrales à paramètre)
    Tu es obligé de le faire à chaque fois car il n'y a pas de règle générale.
    Tu peux étendre ce théorème à des dérivations d'ordre supérieurs.

    Dans le cas de f : (s,w)->f(s,w) il faut montrer :
    1) Pour tout s appartenant à ton intervale d'intégration, w->f(s,w) est dérivable sur l'intervalle I

    2) Pour tout w appartenant à I, s->f(s,w) doit être intégrable de - l'infini à tau

    3) Il faut trouver une fonction g(s) intégrable sur le domaine ]- infini, tau] telle que

    Alors l'égalité que tu as donnée sera justifiée

  7. #6
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Ben dans le sens que tu peux l'expendre en serie :

    Dernière modification par Mataka ; 05/08/2008 à 00h43.

  8. #7
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Merci Scorp , mais tu as tu une reference a ce que tu dit ? (de preference en ligne).

    Parce que je suis pas sur de comprendre le troisieme critere ...

  9. #8
    FonKy-

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Mais je crois que scorp a oublié quelques hypotheses oO

    Et pour information le troisieme critere est appelé domination.

    Pour te renseigner comme il l'a dit ca se nomme "intégrale a parametre", donc il te reste plus qu'a aller faire un tour sur google.

    Cela dit j'ai beaucoup de mal avec l'égalité suivante, et ce n'est pas sur qu'on est ce genre de resultats, a moins qu'il existe un genre de généralisation a ce théoreme :/

  10. #9
    FonKy-

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Ah j'ai oublié, c'est exactement le théoreme de dérivation d'une intégrale a paramètre, il s'agit du théorème de Leibniz

  11. #10
    Scorp

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    J'ai bien fait de chercher un peu plus, parce que mes hypothèses sont à revoir. Ca faisait longtemps que je n'avais pas utilisé ce théorème.
    Il s'agit bien du théorème que j'ai indiqué, cependant, il faut montrer
    1) s->f(s,w) continue par morceaux sur le domaine d'intégration
    2) w->f(s,w) continue sur l'intervalle I, de même que la dérivée partielle
    3) celle là semble bon : il faut majorer le module de ta dérivée par une fonction intégrable ne dépendant pas du paramètre w

    On obtient en fait un peu plus que uniquement "l'inversion" dérivée/intégrale.
    On obtient le caractère C1 de la fonction définit par ton intégrale à paramètre.

    Tu peux aller voir ce lien, page 2 et 3 (c'est la seule chose potable que j'ai trouvée sur ce théorème) : http://www-gat.univ-lille1.fr/~flami.../lecture11.pdf

  12. #11
    epica

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Bonsoir,

    La seconde égalité est fausse en général. On prend si et si . On a f de classe sur et pour tout entier n.

    Donc dans la seconde égalité, le terme de gauche est strictement positif si (on intègre une fonction positive,continue et non nulle) et le terme de droite est nul.
    Dernière modification par epica ; 05/08/2008 à 01h49.

  13. #12
    FonKy-

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    C'est marrant je viens de tomber sur qqun (sur google) qui énoncait le théoreme comme scorp. En tout cas par rapport à mon cours de MP il manque ici des hypotheses. Etrange.

  14. #13
    FonKy-

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Citation Envoyé par Scorp Voir le message
    J'ai bien fait de chercher un peu plus, parce que mes hypothèses sont à revoir. Ca faisait longtemps que je n'avais pas utilisé ce théorème.
    Il s'agit bien du théorème que j'ai indiqué, cependant, il faut montrer
    1) s->f(s,w) continue par morceaux sur le domaine d'intégration
    2) w->f(s,w) continue sur l'intervalle I, de même que la dérivée partielle
    3) celle là semble bon : il faut majorer le module de ta dérivée par une fonction intégrable ne dépendant pas du paramètre w

    On obtient en fait un peu plus que uniquement "l'inversion" dérivée/intégrale.
    On obtient le caractère C1 de la fonction définit par ton intégrale à paramètre.

    Tu peux aller voir ce lien, page 2 et 3 (c'est la seule chose potable que j'ai trouvée sur ce théorème) : http://www-gat.univ-lille1.fr/~flami.../lecture11.pdf
    Je prefere ca

    Mais il faut aussi montrer (à confirmer) que :

    s->D2f(s,w) est Cpm et aussi qu'elle est intégrable mais ça, ça se fait par la domination (critere 3)

  15. #14
    Scorp

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Ma première version était un peu "à l'arrache".
    La seconde que j'ai donné ressemble plus à celle qu'on m'avait donnée en prépa (mais je n'ai pas mon cours sur moi malheureusement)
    J'ai toujours eu un peu de mal avec les hypothèses de ce théorème. Donc il y a surement encore des trucs à revoir dans les hypothèses de ma deuxième version

  16. #15
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Epica, ouin mais ta fonction est vraiment tordu ! Trouve moi un cas plus typique qui ne fonctionne pas et la je vais te croire ...

    Si je comprendre bien , pour un fonction du genre f(s,w) = exp(-s^2)
    ca devrait fonctionner ?

    Merci encore !

  17. #16
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Pour etre plus concres je vais expliciter mon exemple un peu.

    Est ce que :


  18. #17
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    En passant, je viens d'essayer un petit exercice et c'est assez facile de montrer que sa marche pour :


  19. #18
    epica

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    En math un contre-exemple suffit pour prouver qu'une propriété est fausse

    Pour ton exemple je suis sur que ca marche si mais je pense que ca marche aussi si mais là je ne suis pas sur, à vérifier donc.

    Sur ce je pars me coucher, bonne nuit

  20. #19
    epica

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Edit : en fait ton exemple avec doit marcher pour tout réel je pense (intuitivement), mais bon à vérifier.

  21. #20
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Ouais daccord mais pour eviter ton exemple il suffit d'exiger que la fonction ait une serie de taylor, ce qui est assez naturel il me semble autrement c'est juste pas possible de definir une fonction d'un operateur.

    Si tu fait mon exemple comme tu monde tu va voir que sa marche pour tout w>0 .

  22. #21
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Scorp, ton lien il me semble que :

    1) Ils disent juste si la derive est definie, mais vraiment si tu peux remplacer une variable par une derive parametrique et la sortir par la suite ... (edit : apres relecture j'ai mieux compris la pertinence du theoreme, donc oublie cette remarque )
    2) Ils traitent juste la derive premiere ...

    De plus j'ai pas vu encore de critere qui demande l'integrabilite (comme Scorp dans son premier message) ce qui me semble etre un critere important, mais j'aimerais bien m'en assurer avec un reference ...

  23. #22
    Thorin

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Ca vous embêterait tant que ça de poser des questions avec des connaissances de sup' ?

    Ce serait plus agréable

  24. #23
    Mataka

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    Tu trouve la question trop triviale ou trop dure ?

    C'est assez vague des connaissances de sup, je vis pas en France alors j'ai aucune idées de votre système d'éducation.

    De toute façon, si la question est trop triviale alors c'est étrange il y a quelques pistes de réponse ici et la mais aucune réponse complete jusqu'a maintenant !?

  25. #24
    Thorin

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    trop dure pour moi^^

  26. #25
    termitor

    Re : Sortir des fonctions d'un intégrale ?

    heu, suis pas un matheux fondamentalement, mais c'est pas la transformé de Laplace ?

    je crois qu'elle a de bonne propriété pour explique ceci cela

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_de_Laplace ?

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