Lien entre probabilité et espérance

[invitebb921944]

Bonjour,
Je continue à faire des sujets de probabilités et quelque chose me chagrine à nouveau.

On me donne l'énoncé suivant :

Soit une suite de v.a. réelles indépendantes suivants des lois exponentielles de paramètres respectifs .

1) Montrer l'équivalence de :

et
.

2)Montrer que si , alors (indication : calculer )?

Bon pour la question 1), une seule implication pose problème. Je pensais utiliser la loi du 0-1 de Kolmogorov mais je ne vois pas comment la justifier proprement.

Pour la 2), le problème est que je ne vois pas le rapport entre l'espérance de la somme des et la probabilité dont il est question. L'espérance qu'on me demande de calculer vaut (étonnant non ? ).
Je dois donc lier :
et .
Je ne sais pas comment m'en sortir...

Merci pour votre aide.
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[invitebb921944]

Pour la 2), on peut déduire de l'inégalité de l'hypothèse que la série des converge presque surement, ce qui donne bien la probabilité recherchée sauf erreur.

[invitea07f6506]

Pour la 1) : loi du 0-1 de Kolmogorov, je ne vois pas où est le problème (les v.a. étant indépendantes, l'évènement "la somme des X_n diverge" ne dépendant que des valeurs des X_n pour n > n_0, et ce pour tout n_0, c'est bien un évènement de la tribu asymptotique).

Pour la 2) : E(X_n) = 1/Lambda_n... Attention ! (et Fubini-Tonelli pour intervertir somme et intégrale). Sinon, c'est bien ça : l'espérance étant finie, la v.a. correspondante est finie p.s..

[invitebb921944]

Je ne comprends pas pourquoi Fubini-Tonelli !
Le fait que l'espérance contienne une somme infinie nous empêche-t'il d'utiliser la linéarité de l'espérance ?
Sinon merci pour ta réponse !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Il faut quand même faire une interversion somme - intégrale (= espérance) !