Multiplicité d'une valeur propre

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai lu dans document sur la diagonalisation, qu'une matrice était diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre était égal à la multiplicité de la valeur propre en question.

J'ai fait quelques recherches, mais je n'ai pas trouvé ce à quoi correspondait la multiplicité d'une valeur propre.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce dont il s'agit ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[invité576543]

J'ai fait quelques recherches, mais je n'ai pas trouvé ce à quoi correspondait la multiplicité d'une valeur propre.

On peut imaginer que c'est la multiplicité de la valeur propre en tant que racine du polynôme det(M-xI).

Cordialement,

[Seirios]

Donc une matrice est diagonalisable si et seulement si les sous-espaces propres ont une dimension égale au nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice en question, c'est cela ? (je voudrais principalement avec une confirmation du "si et seulement si")

[Thorin]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_....C3.A9ristique

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

égale au nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice en question

Il ne faut pas que ce soit égal au nombre de racine, mais à la multiplicité de chaque valeur propre.

Et je rajoute une condition supplémentaire implicite : que le polynôme soit scindé

[Thorin]

NB :je confirme, après la lecture d'une démonstration, l'équivalence.

[Romain-des-Bois]

Salut,

quand tu cherches les valeurs propres, tu cherches les racines du polynôme dét(M-XI). Tu peux très bien imaginer que 2 soit racine double de ce polynôme, c'est à dire qu'on peut écrire :


Cas général :
On dit que est racine (d'un polynôme Q) de multiplicité si on peut écrire :


Si 2 est racine double de dét(M-XI), on dit que 2 est valeur propre double de la matrice/de l'endomorphisme.
Et idem avec toute multiplicité


Le résultat que tu énonces dans ton message #1 est vrai (avec le ssi). Par contre ce que tu dis dans ton deuxième message est faux.

Romain

[martini_bird]

Salut,

un exemple simple à retenir est l'endomorphisme dont une représentation matricielle est :
.

Le polynôme caractéristique est (X-1)², qui est scindé mais pas à racine simple (donc pas diagonalisable).

Le problème vient de ce que l'espace propre associé à la valeur propre 1 est trop petit (de dimension 1) pour que l'on ait une base de vecteurs propres.

Cordialement.

[Romain-des-Bois]

Salut Martini !

Le polynôme caractéristique est (X-1)², qui est scindé mais pas à racine simple (donc pas diagonalisable).

euh, là, tu vas un peu vite
tu as donné l'argument juste après, mais pour Phys2, autant que ce soit bien ordonné s'il découvre tout ça !

Ce serait plutôt :
polynôme caractéristique scindé avec une racine double : 1
or, l'espace propre associé à cette valeur propre est de dimension 1 (< 2)
donc l'endomorphisme n'est pas diagonalisable.

Romain

[martini_bird]

Oui, je voulais dire : donc on ne peut pas conclure pour l'instant.

Il est clair que le polynôme caractéristique de l'identité est à racines multiples...

Merci pour la remarque.

Cordialement.

[Scorp]

Si tu as le courage, essaye de lire des cours sur la trigonalisation/jordanisation. C'est en faisant un DM là dessus que j'ai vraiment compris la diagonalisation (le fait de voir ce qui se passe au niveau des multiplicités, espace caractéristiques etc... lorsque la diagonalisation n'est pas possible va te faire vraiment progresser dans la comprension de tout ca.
En tout cas ca a marché pour moi

[Thorin]

Voici à cet effet un cours de spé sur l'algèbre linéaire, dont la diagonalisation : http://pagesperso-orange.fr/lavau/psi2004/ALGLINDG.PDF

[Seirios]

Si tu as le courage, essaye de lire des cours sur la trigonalisation/jordanisation.

Disons que pour la diagonalisation, il s'agit pour l'instant d'un sujet que je souhaitais traiter rapidemment, simplement pour comprendre les bases, pour me faire une idée, ayant d'autres sujets en cours d'étude ; mais je prends bonne note de ton conseil

En tout cas merci à tous pour vos réponses

[FAN FAN]

Disons que pour la diagonalisation, il s'agit pour l'instant d'un sujet que je souhaitais traiter rapidemment, simplement pour comprendre les bases, pour me faire une idée, ayant d'autres sujets en cours d'étude ; mais je prends bonne note de ton conseil

En tout cas merci à tous pour vos réponses

Je dirais, pour faire court, qu'une matrice carrée est diagonalisable S et SS les sous-espaces propres ont leur dimension égale à la multiplicité des valeurs propres qui les engendrent.

En d'autres termes: que les "multiplicités algébriques" soient égales aux "multiplicités géométriques"

[Seirios]

J'essaie sur un exemple, pour voir si j'ai réellement compris :

On considère un endomorphisme , avec un -espace vectoriel, défini dans la base canonique par la matrice .

On a le polynôme caractéristique . On postule ensuite la diagonalisation selon les valeurs de a et b.

Si ab>0, c'est-à-dire si a et b sont de même signe, on peut écrire , d'où deux valeurs propres , auxquelles on associe les espaces propres , dont leurs dimensions correspondent à la multiplicité de la valeur propre correspondante, à savoir 1.
Dans ce cas, la matrice est donc diagonalisable (pour obtenir l'expression de la matrice diagonale, il faudrait exprimer A dans une base constituée d'un vecteur propre de E₁ et d'un vecteur propre de E₂).

Si ab<0, c'est-à-dire si a et b sont de signes différents, alors il n'existe aucune valeur propre, puisque E est un -espace vectoriel, et A n'est pas diagonalisable.

Pour ab=0, , d'où une valeur propre . Pour déterminer l'espace propre E₀, in faut résoudre l'équation matricielle . On distinguera alors trois cas :

Si a=b=0, l'équation matricielle est vraie pour tout x et y, donc , donc A est diagonalisable.

Si , l'équation est vraie pour tout y, donc ; si , l'équation est vraie pour tout x, donc . Dans les deux cas, la matrice A n'est pas diagonalisable, les espaces propres ayant une dimension égale à 1.

Voilà, est-ce correcte ?

[indian58]

[QUOTE=Phys2;1836813]J'essaie sur un exemple, pour voir si j'ai réellement compris :

On considère un endomorphisme , avec un -espace vectoriel, défini dans la base canonique par la matrice .

On a le polynôme caractéristique . On postule ensuite la diagonalisation selon les valeurs de a et b.

Si ab>0, c'est-à-dire si a et b sont de même signe, on peut écrire , d'où deux valeurs propres , auxquelles on associe les espaces propres , dont leurs dimensions correspondent à la multiplicité de la valeur propre correspondante, à savoir 1.
Dans ce cas, la matrice est donc diagonalisable (pour obtenir l'expression de la matrice diagonale, il faudrait exprimer A dans une base constituée d'un vecteur propre de E₁ et d'un vecteur propre de E₂).

Si ab<0, c'est-à-dire si a et b sont de signes différents, alors il n'existe aucune valeur propre, puisque E est un -espace vectoriel, et A n'est pas diagonalisable.

Pour ab=0, , d'où une valeur propre . Pour déterminer l'espace propre E₀, in faut résoudre l'équation matricielle . On distinguera alors trois cas :

Si a=b=0, l'équation matricielle est vraie pour tout x et y, donc , donc A est diagonalisable.

Si ,
; si , . Dans les deux cas, la matrice A n'est pas diagonalisable, les espaces propres ayant une dimension égale à 1.
QUOTE]

Dans le cas ab=0 avec l'un des deux non nuls par exemple b (donc a=0), tu peux aller plus vite en disant que si ta matrice etait diagonalisable alors elle serait semblable a la matrice 9*Id donc en fait identique a 9*Id. Or b est different de 0. Donc c'est absurde et ta matrice n'est pas diagonalisable.

[Seirios]

Dans le cas ab=0 avec l'un des deux non nuls par exemple b (donc a=0), tu peux aller plus vite en disant que si ta matrice etait diagonalisable alors elle serait semblable a la matrice 9*Id donc en fait identique a 9*Id. Or b est different de 0. Donc c'est absurde et ta matrice n'est pas diagonalisable.

J'en déduis donc que ce que j'ai fais est correcte ?