Bonjour à tous,
J'ai lu dans document sur la diagonalisation, qu'une matrice était diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre était égal à la multiplicité de la valeur propre en question.
J'ai fait quelques recherches, mais je n'ai pas trouvé ce à quoi correspondait la multiplicité d'une valeur propre.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce dont il s'agit ?
Merci d'avance
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
On peut imaginer que c'est la multiplicité de la valeur propre en tant que racine du polynôme det(M-xI).Envoyé par Phys2
Cordialement,
Donc une matrice est diagonalisable si et seulement si les sous-espaces propres ont une dimension égale au nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice en question, c'est cela ? (je voudrais principalement avec une confirmation du "si et seulement si")
If your method does not solve the problem, change the problem.
Il ne faut pas que ce soit égal au nombre de racine, mais à la multiplicité de chaque valeur propre.égale au nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice en question
Et je rajoute une condition supplémentaire implicite : que le polynôme soit scindé
NB :je confirme, après la lecture d'une démonstration, l'équivalence.
Salut,
quand tu cherches les valeurs propres, tu cherches les racines du polynôme dét(M-XI). Tu peux très bien imaginer que 2 soit racine double de ce polynôme, c'est à dire qu'on peut écrire :
Cas général :
On dit queest racine (d'un polynôme Q) de multiplicité
Si 2 est racine double de dét(M-XI), on dit que 2 est valeur propre double de la matrice/de l'endomorphisme.
Et idem avec toute multiplicité
Le résultat que tu énonces dans ton message #1 est vrai (avec le ssi). Par contre ce que tu dis dans ton deuxième message est faux.
Romain
Salut,
un exemple simple à retenir est l'endomorphisme dont une représentation matricielle est :
Le polynôme caractéristique est (X-1)², qui est scindé mais pas à racine simple (donc pas diagonalisable).
Le problème vient de ce que l'espace propre
Cordialement.
Salut Martini !
euh, là, tu vas un peu vite
tu as donné l'argument juste après, mais pour Phys2, autant que ce soit bien ordonné s'il découvre tout ça !
Ce serait plutôt :
polynôme caractéristique scindé avec une racine double : 1
or, l'espace propre associé à cette valeur propre est de dimension 1 (< 2)
donc l'endomorphisme n'est pas diagonalisable.
Romain
Oui, je voulais dire : donc on ne peut pas conclure pour l'instant.
Il est clair que le polynôme caractéristique de l'identité est à racines multiples...
Merci pour la remarque.
Cordialement.
Si tu as le courage, essaye de lire des cours sur la trigonalisation/jordanisation. C'est en faisant un DM là dessus que j'ai vraiment compris la diagonalisation (le fait de voir ce qui se passe au niveau des multiplicités, espace caractéristiques etc... lorsque la diagonalisation n'est pas possible va te faire vraiment progresser dans la comprension de tout ca.
En tout cas ca a marché pour moi
Voici à cet effet un cours de spé sur l'algèbre linéaire, dont la diagonalisation : http://pagesperso-orange.fr/lavau/psi2004/ALGLINDG.PDF
Disons que pour la diagonalisation, il s'agit pour l'instant d'un sujet que je souhaitais traiter rapidemment, simplement pour comprendre les bases, pour me faire une idée, ayant d'autres sujets en cours d'étude ; mais je prends bonne note de ton conseilSi tu as le courage, essaye de lire des cours sur la trigonalisation/jordanisation.
En tout cas merci à tous pour vos réponses
If your method does not solve the problem, change the problem.
Disons que pour la diagonalisation, il s'agit pour l'instant d'un sujet que je souhaitais traiter rapidemment, simplement pour comprendre les bases, pour me faire une idée, ayant d'autres sujets en cours d'étude ; mais je prends bonne note de ton conseil
En tout cas merci à tous pour vos réponses
Je dirais, pour faire court, qu'une matrice carrée est diagonalisable S et SS les sous-espaces propres ont leur dimension égale à la multiplicité des valeurs propres qui les engendrent.
En d'autres termes: que les "multiplicités algébriques" soient égales aux "multiplicités géométriques"
J'essaie sur un exemple, pour voir si j'ai réellement compris :
On considère un endomorphisme
On a le polynôme caractéristique
Si ab>0, c'est-à-dire si a et b sont de même signe, on peut écrire
Dans ce cas, la matrice est donc diagonalisable (pour obtenir l'expression de la matrice diagonale, il faudrait exprimer A dans une base constituée d'un vecteur propre de E1 et d'un vecteur propre de E2).
Si ab<0, c'est-à-dire si a et b sont de signes différents, alors il n'existe aucune valeur propre, puisque E est un
Pour ab=0,
Si a=b=0, l'équation matricielle est vraie pour tout x et y, donc
Si
Voilà, est-ce correcte ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
[QUOTE=Phys2;1836813]J'essaie sur un exemple, pour voir si j'ai réellement compris :
On considère un endomorphisme
On a le polynôme caractéristique
Si ab>0, c'est-à-dire si a et b sont de même signe, on peut écrire
Dans ce cas, la matrice est donc diagonalisable (pour obtenir l'expression de la matrice diagonale, il faudrait exprimer A dans une base constituée d'un vecteur propre de E1 et d'un vecteur propre de E2).
Si ab<0, c'est-à-dire si a et b sont de signes différents, alors il n'existe aucune valeur propre, puisque E est un
Pour ab=0,
Si a=b=0, l'équation matricielle est vraie pour tout x et y, donc
Si
QUOTE]
Dans le cas ab=0 avec l'un des deux non nuls par exemple b (donc a=0), tu peux aller plus vite en disant que si ta matrice etait diagonalisable alors elle serait semblable a la matrice 9*Id donc en fait identique a 9*Id. Or b est different de 0. Donc c'est absurde et ta matrice n'est pas diagonalisable.
J'en déduis donc que ce que j'ai fais est correcte ?
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