formes linéaire : orthogonalité
bjr,
j'aimerai savoir comment démontrer ce ci :
f1 inclus dans f2 => f2 orthogonale inclus dans f1 orthogonale
est ce qu'on peut dire que si dim de f2>dim de f1
dim E - dim f2 orthg > dim E - dim f1 orthg
dim f2 orthg < dim f1 orthogn
donc f2 orthog est incluse dans f1 orthogonale
je crois qu'il y a une certaine condition qui manque mais je ne sais pas la quelle ?
Non, puisque dim(A) < dim(B) n'entraine pas forcemment.. Any way .. Soit
.. je te laisse conclure ..
Tu parles de dim(f1) etc..., mais tu ne peux raisonner avec ca que si tu es en dimension finie. De plus, dans ta démonstration, tu n'utilise que les dimensions, ce qui a priori n'est pas suffisant pour conclure à une inclusion (2 ensembles E et F dont dimE<dimF ne te permet de conclure que E inclus dans F, il te faut un argument de plus !).
Ainsi, pour une démonstration plus complète, autant raisonner directement avec les bases :
On choisit une base orthnormée pour E qui existe puisqu'on est en dimension finie Be : e1, ..., en
On peut supposer, quitte à renomer les vecteurs de base, qu'une base de f2 est e1, ... , ep
et qu'une base de f1 est alors du type e1, ..., ek avec k<p puisque f1 inclus dans f2
Donc f2=vect(e1, ... ,ep), f1=vect(e1,...,ek)
l'orthogonal Of2 de f2 est donc forcément vect(ep+1,... en)
Et Of1 = vect(ek+1,...,en)
Donc Of2 inclus dans Of1
Ici, on a bien plus qu'un simple argument de dimension, on a bien montré une inclusion !
Mais tout ca ne résoud pas le problème de la dimension infinie...
P.S : Haaaa, griller par MMu !!!
merci pour ton explication mais je n'est pas très bien compris l'écriture (après l'implication)!Envoyé par MMu
Non, puisque dim(A) < dim(B) n'entraine pas forcemment
.. je te laisse conclure ..
merci c'est une réponse très satisfaisante merci encors !
Il s'agit sans doute du produit scalaire de v et de x.
C'est pas "sans doute". Il s'agit bien du produit scalaire.
Sa démonstration peut se traduire comme ca :
1) Tu prends v vecteur de f2 orthogonal
2) Alors v est orthogonale à tous les vecteurs x de f2
3) v est donc orthogonale à tous les vecteurs x de f1 (car f1 inclus dans f2)
4) On en déduit que v appartient à f1 orthogonal
Comme c'est valable pour tout v de f2 orthogonale, on obtient l'inclusion voulue
Une bonne petite démonstration, assez claire, et plus générale que la mienne (car elle doit prendre en compte le cas de la dimension infinie, ce qui n'était pas mon cas)
oui bien sur , ou avais-je la tete !!
oui c'est sans doute, je ne suis pas très habituée à cette écriture !
merci
