primitive !!!!

[invitebee65b1b]

bonjours , je cherche la primitive de cos²x.sin^3(x)

J'aimerai aussi comprendre la démarche a faire car je n'est encore jamais vue ce type de fonction .merci
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[invite2a222fea]

La démarche classique pour intégrer ce genre de fonction (produit de fonction trigo) consiste à utiliser tes formules de trigonométrie pour linéariser ton expression, tu te ramènes ainsi à une somme de sin et de cos avec certains coefficients. L'intégration est ensuite facile. Je vais tenter de résoudre l'exemple que tu proposes et je reviens pour te donner un exemple concret.

PS: tu cherches une primitive et non pas la primitive, en effet, même si il s'agit d'une fonction gentille, pour avoir unicité, il faut que tu fixe la valeur en un point de ta primitive. Plus précisément, tu cherches une primitive de ta fonction mais tu peux chercher la primitive de ta fonction nulle en zéro ou la primitive de ta fonction valant 1 en 0 etc.

[Médiat]

La démarche classique pour intégrer ce genre de fonction (produit de fonction trigo) consiste à utiliser tes formules de trigonométrie pour linéariser ton expression, tu te ramènes ainsi à une somme de sin et de cos avec certains coefficients.

Ce n'est pas faux, mais il y a souvent plus simple, comme ici :

cos²x.sin³(x) = cos²(x)(1-cos²(x))sin(x),
et en développant on a une somme de trucs du genre uⁿ.u' dont une primitive est uⁿ⁺¹/(n+1)

[invite2a222fea]

Dans le cas où les puissances des sin et cos sont élevés ou bien si, comme moi, tu n'est pas très bon en calcul, le plus simple est d'utiliser les formules d'Euler pour linéariser l'expression :
cos(t)=1/2(exp(it)+exp(-it)) et sin(t)=1/2i(exp(it)-exp(-it))

Ensuite tu développes les produits et tu reviens à des expressions en cos et sin, bien sûr il faut vérifier que le résultat final est bien une fonction réelle.

Sur ton exemple,
cos²(t)sin³(t) = 1/4(exp(it)+exp(-it))²*1/8i³(exp(it)-exp(-i))³

ce qui une fois simplifié nous donne :
(-1/32i)(exp(5it)-exp(3it)-2exp(it)+2exp(-it)+exp(-3it)-exp(-5it))

on peut ensuite réunir les termes de façon à faire apparaître des cos et des sin (ici on ne fait apparaître que des sin ce qui est logique vu que l'on cherche une fonction réelle et que l'on a un terme 1/i en facteur) on réordonne donc les termes de la façon suivante :
(-1/32i)(exp(5it)-exp(-5it))+(1/32i)(exp(3it)-exp(-3it))+(1/16i)(exp(it)-exp(-it))

on voit ici apparaître des sin et on réécrit l'expression sous la forme :
(-1/16)sin(5t)+(1/16)sin(3t)+(1/8)sin(t)
en utilisant une nouvelle fois les formules d'Euler.

Tu as donc au final, pour tout t réel,
cos²(t)sin³(t)=(-1/16)sin(5t)+(1/16)sin(3t)+(1/8)sin(t)
l'expression de droite étant facilement intégrable.

Une primitive de ta fonction sera donc de la forme :
x |----> (1/80)cos(5x)-(1/48)cos(3x)-(1/8)cos(x).

Est-ce assez clair ou as-tu besoin de plus de détails?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a222fea]

Ce n'est pas faux, mais il y a souvent plus simple, comme ici :

cos²x.sin³(x) = cos²(x)(1-cos²(x))sin(x),
et en développant on a une somme de trucs du genre uⁿ.u' dont une primitive est uⁿ⁺¹/(n+1)

En effet, cette solution est bien plus rapide, cependant, elle manque de généralité. Il n'existe pas forcément de façon de mener le calcul qui amène à des simplifications de ce genre, si il en existe une qui saute aux yeux, tant mieux, sinon dans le cas général mieux vaut s'attaquer au calcul comme je l'ai décrit, c'est plus long et moins élégant mais on est sûr d'aboutir.

[invitebee65b1b]

houla..... bon je vais prendre ma feuille ,un stylo et reprendre tout sa au calme et je vous fait signe des que j'ai un problème ,en tout cas merci beaucoup !!!

[invitebee65b1b]

Alor.... j'ai utiliser la formules d'Euler sur l'expression de départ ,or quand je développe puis réduit j'obtient quelque chose qui je pense est faux et n'amène a rien ...erf

j'arive à: 1/32*( e(5it)-e(-5it)-3e(3it)+e(-3it)+2e(2it)+2e(-it)-2 )

Je ne comprend pas comment faire apparaître le i dans (1/32i ) puis je pense pas qu'en utilisant Euler dans la formules que j'obtient m'avances ...
Donc si ce serai possible d'avoir le détaille du développement ....merci

[invitebee65b1b]

cos2(t)sin3(t) = 1/4(exp(it)+exp(-it))2*1/8i3(exp(it)-exp(-i))3

c'est cette simplification qui me pose problème.....

[invitebee65b1b]

Je rectifie....c'est la simplification du 2eme therme !!!!!

[invite2a222fea]

Et bien tu commences par t'occuper du dénominateur, 4*8i³=-32i. (le i vient du fait que i³=-i)

Ensuite il te reste pour le numérateur le produit de deux termes, (e(it)+e(-it))² et (e(it)-e(-it))³. Tu développes chaque terme à l'aide du binôme de Newton, (ou si tu ne connait pas encore juste en développant calmement), tu obtients d'une part
(e(it)+e(-it))²=e(2it)+2+e(-2it)
et d'autre part
(e(it)-e(-it))³=e(3it)-3e(it)+3e(-it)-e(-3it)
tu multiplies ensuite ces deux termes :
(e(2it)+2+e(-2it))*(e(3it)-3e(it)+3e(-it)-e(-3it))=e(5it)-e(3it)-2e(it)+2e(-it)+e(-3it)-e(-5it)

Au final, ton expression s'écrit sous la forme :
(-1/32i)(e(5it)-e(-5it)-e(3it)+e(-3it)-2e(it)+2e(-it))=(-1/16)sin(5t)+(1/16)sin(3t)+(1/8)sin(t)

En fait tu as du faire une erreur développant, car comme tu le fais remarquer tu n'as plus la symétrie qu'il y avait précédemment entre les termes, ce qui t'empêches d'utiliser la formule d'Euler. Remarques que ta fonction est à valeurs complexes alors que tu pars d'une fonction à valeurs réelles ce qui pose problème.

[Médiat]

En effet, cette solution est bien plus rapide, cependant, elle manque de généralité.

Je pensais que réfléchir était toujours préférable à l'application mécanique d'une méthode ; sans compter le risque infiniment moindre de faire une faute de calcul ...

[invitec317278e]

J'approuve.
Et surtout, c'est bien plus gratifiant, amusant, jouissif, de trouver des méthodes plus simples et rapides.

[invitebfd92313]

et surtout qu'elle ne manque pas de généralité puisqu'elle ne s'aplique pas uniquement lorsque les 2 exposants du snius et du cosinus sont pairs

[invitebee65b1b]

Moi je défend mercuri car j'aime bien ces long développement mais bon je suis pas assez adroit pour les mené à bien .Merci à tout ceux qui mon aider !

[Médiat]

Moi je défend mercuri car j'aime bien ces long développement mais bon je suis pas assez adroit pour les mené à bien .Merci à tout ceux qui mon aider !

Tu fais comme tu veux, mais il semblerait que tu aies eu des problèmes de calculs alors qu'avec l'autre méthode :
cos2x.sin3(x) = cos2(x)(1-cos2(x))sin(x) = cos2(x)sin(x) - cos4(x)sin(x), dont une primitive est : f(x) = -cos3(x)/3 - cos5(x)/5.

Connaître la méthode générale est indispensable, mais il est inutile de se dispenser de sa propre intelligence, mais comme je le disais, tu fais comme tu veux.