Exercices MPSI

[invite725681ad]

Voilà, je viens d'entrer en MPSI et on vient d'aborder le chapitre "ensembles, applications, relations". Si la partie cours a été assez facile à comprendre, l'application est tout de suite plus difficile.

Voici deux exercices de cette feuille sur la thématique "Opérations sur les parties d'un ensemble"

Exercice 1

On considère une famille finie d'ensembles distincts deux à deux
Montrer que l'un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres.

>>>> Concernant cet exercice, j'ai pensé à un raisonnement par l'absurde mais je n'ai trouvé aucun moyen d'exprimer ça mathématiquement >> pas de point de départ.
Introduire n ensembles ?

Exercice 2

Montrer que l'ensemble D = {(x,y)E R^2, x^2+y^2 </=1} ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de deux parties de R.

>>>> Concernant cet exercice, je n'ai rien trouvé dans le cours qui me permette de répondre.
J'ai pensé à "x^2 + y^2" ne peut pas se factoriser, donc ne peut pas écrire D comme le produit cartésien de deux parties de R. Mais ce n'est qu'une supposition sans fondement, si ce n'est sur le mot "produit" car je n'ai aucune idée de ce que "donne" un produit cartésien.
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[invite725681ad]

Pour l'exercie 2, on m'a proposé comem solution "(0;1) et (1;0) appartiennent à D. Si D était le produit cartésien de 2 parties de IR, alors on aurait aussi (1;1) qui appartiendrait à D. Ce qui est faux. "

Qu'est ce que vous en pensez ? Merci. (je n'ai personelemnt aps compris le passage "alors on aurait aussi (1;1)" à partir des solutions qu'il propose.

merci d'avance

[invite9c9b9968]

Hello,

Je n'ai regardé que le premier exercice pour l'instant. Ton raisonnement par l'absurde est une bonne idée.

Introduisons des notations : la famille d'ensemble sera notée avec I fini. L'énoncé suppose que pour tout i différent de j, donc il existe des éléments non communs aux deux ensembles.

Dans le raisonnement par l'absurde, tu pars de l'hypothèse que pour tout i dans I, tu pourras trouver un certain j tel que (c'est juste la négation de la conclusion à démontrer).

En clair, quel que soit l'ensemble que tu prends dans ta famille, tu pourras toujours trouver au moins un autre ensemble qui est inclu dans le premier.

En quoi est-ce contradictoire avec le fait que ta famille d'ensemble est finie ?

[invitec317278e]

Pour l'exercice 1, si on le fait par l'absurde, il s'agit de supposer que chaque ensemble contient au moins un autre ensemble.
essaie de voir ce qui se passe.


Quant à l'exo 2...si on pouvait écrire cet ensemble sus forme de produit cartésien de deux parties de R....
Notons ces deux parties A et B, alors, pour tout a dans A et pour tout b dans B, on aurait le couple (a,b) appartenant à D.
Or, comme les couples (1,0) et (0,1) appartiennent à D, on a 1 qui appartient à A (à cause du premier couple) et à B (à cause du second couple). donc, le couple (1,1) appartient à D (puisque la première composante appartient à A, et la second appartient à B). Mais ceci est absurde, car 1²+1² > 1.


Edit 1 : J'ai édité pour pas griller la politesse à Gwyddon.
Edit 2 : et je viens de lire le second message de JeanPierreDonadieu , il faut donc que j'explique un peu ce que j'ai écrit...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Le produit cartésien de 2 ensembles est constitué de TOUS les couples dont la première composante appartient à A, et la seconde composante appartient à B. donc, si (1,0) appartient au produit cartésien, on a 1 qui appartient à A, et 0 qui appartient à B.
De même, avec (0,1), 1 appartient à B.

ainsi, 1 appartient à A et à B, donc, (1,1) appartient à son produit cartésien.

[invite725681ad]

Merci bien pour vos réponses.
Pour le premier exercice, j'avais pensé à ce raisonnement par l'absurde mais la forme me semble peu rigoureuse.
"Supposons que tous les ensembles de la famille contiennent au moins un ensemble de la famille (autrement dit qu'aucun élément de la famille ne contient aucun autre ensemble de la famille).
Dans ce cas, chaque ensemble contiendra au moins un autre élément de la famille. [voilà où ça bloque, dans cete transition] Ce qui induit qu'il existe une infinité d'ensembles dans cette famille d'ensembles (la "chaîne" d'inclusion ne s'arrêtant jamais) , ce qui est en contradiction avec les données.
Donc il existe au moins un ensemble de la famille qui ne contient aucun des autres ensemble de la famille"


Pour le deuxième exercice, merci vous venez de m'apprendre quelque chose concernant le produit cartésien (absent de la feuile de cours (à moins que j'ai mal lu), et peut-être oublié de la terminale (je ne me souviens pas l'avoir abordé, enfin pas grave))

Encore merci, je vais réfléchir à l'amélioration du raisonnement du premier exercice.

[invitec317278e]

Il faudra développer un peu plus certaines choses. Par exemple : est-ce que parce que la chaine est infinie, le nombre d'ensembles est infini ? On peut très bien avoir A inclus dans B, B inclus dans C, C inclus dans A, et à ce moment...retour au point de départ ! Il faut préciser que dans ce cas, on aurait A=B=C, ce qui est interdit par l'énoncé.


Je fais un petit essai de formalisation du raisonnement. On peut construire par récurrence une suite d'ensembles inclus les uns dans les autres comme suit :
On se donne comme étant un ensemble quelconque de la famille.
Pour passer de à , on cherche les ensembles inclus dans . Si parmi eux, il en existe un qui ne figure pas parmi les termes précédents, on le choisit. Sinon, on en prend un autre.

Ainsi, les j-1 (avec j étant le nombre d'ensembles de la famille de départ) premiers termes de la suite forment une suite d'ensembles distincts et inclus les uns dans les autres. et le jième terme est alors forcément un ensemble figurant parmi les j premiers termes de la liste.
on note m l'entier tel que
on a alors et on a donc car

Or, les ensembles ont été supposés distincts, ce qui enfreint l'énoncé.

[inviteaf1870ed]

Pour l'exercice 1, on peut éviter de passer par l'absurde il me semble.

Si on considère les cardinaux de ces ensembles, ils forment une suite Ci qui possède nécessairement un plus petit élément Cm. Soit A un ensemble de cardinal Cm, il ne peut contenir un autre ensemble de notre suite d'ensembles, car le cardinal de ce dernier serait alors strictement inférieur à Cm.

[invite9c9b9968]

C'est une solution en effet, mais qui consiste à utiliser un résultat puissant sur les sous-parties de ; d'un point de vue minimaliste, je préfère la version par l'absurde qui ne requiert pas un tel résultat

Ça reste du chipotage, car c'est aussi une belle solution

[inviteaf1870ed]

Oui mais je n'aime pas les démonstrations par l'absurde

[invite1dddaa1b]

Voilà, je viens d'entrer en MPSI et on vient d'aborder le chapitre "ensembles, applications, relations". Si la partie cours a été assez facile à comprendre, l'application est tout de suite plus difficile.

Voici deux exercices de cette feuille sur la thématique "Opérations sur les parties d'un ensemble"

Exercice 1

On considère une famille finie d'ensembles distincts deux à deux
Montrer que l'un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres.

>>>> Concernant cet exercice, j'ai pensé à un raisonnement par l'absurde mais je n'ai trouvé aucun moyen d'exprimer ça mathématiquement >> pas de point de départ.
Introduire n ensembles ?

Exercice 2

Montrer que l'ensemble D = {(x,y)E R^2, x^2+y^2 </=1} ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de deux parties de R.

>>>> Concernant cet exercice, je n'ai rien trouvé dans le cours qui me permette de répondre.
J'ai pensé à "x^2 + y^2" ne peut pas se factoriser, donc ne peut pas écrire D comme le produit cartésien de deux parties de R. Mais ce n'est qu'une supposition sans fondement, si ce n'est sur le mot "produit" car je n'ai aucune idée de ce que "donne" un produit cartésien.

Bonjour.
1) Pour le premier exo il est tellement plus simple et plus rapide de faire un raisonnement par récurrence sur le nombre d'ensembles en initialisant en 2.

2) Pour le deuxième exo, si le disque était un produit cartésien de deux parties A et B de R alors en considérant ses deux projections sur R on voit que nécessairement A=B=[-1;1]; et là on voit bien que (1,1) appartient à AxB mais n'appartient pas au disque

[inviteedf58aa9]

Bonjour tout le monde,

J'ai exactement le même exercice à faire, mais je ne comprends pas ce que veut dire "ensembles distincts deux à deux". Je sais ce que sont des ensembles distincts, mais distincts deux à deux, ce n'est pas très clair en ce qui me concerne...

Cela veut-il dire que pour (E_i)_i∈I, E₁ est distinct de E₂, mais E₁ pourrait être disjoints ou équivalents à E₃ ?

Quelqu'un pourrait-il éclairer ma lanterne ?

Merci d'avance

On considère une famille finie d'ensembles distincts deux à deux
Montrer que l'un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres.

[gg0]

Pour tout i et tout j différent de i, .

C'est-y pas évident ?

[inviteedf58aa9]

Merci pour ta réponse, gg0