Caractérisation séquentielle de l'adhérence

[invite781ac61b]

Bonjour, j'ai une question sur un point de cours où il n'y pas eu de démonstration.
On a un espace topologique (X,T) (T est une topologie sur X) qui admet une base de voisinages localement dénombrable
En notant Y une partie de X, on a l'équivalence suivante, pour tout x de Y :
x appartient à l'adhérence de Y ssi x est limite d'une suite à valeurs dans Y

C'est seulement vrai dans ce sens <- si l'espace topologique n'admet pas de base de voisinages localement dénombrable.
J'ai un pt'it problème pour démontrer ça dans le sens ->. Si vous avez des idées, n'hésitez pas..
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[taladris]

Salut!

Pour montrer cette propriété dans un espace métrique, tu pars de la définition de l'adhérence en "transformant" le epsilon en la suite 1/n. Tu fabriques une suite qui vit dans des boules de centre ton point adhérent et de plus en plus petites.
Dans un espace topo avec base de voisinages dénombrable, le principe est le même. En fait, le point crucial est de montrer que si tu as une famille dénombrable (V_n) de voisinages d'un point x, tu peux construire une famille dénombrable (W_n) de voisinages de x telles que W_n est inclus dans W_{n-1} pour tout n.

J'espère avoir été utile.
Cordialement

[invite781ac61b]

Merci, j'ai pris la suite de voisinages Wn(x)=Min(V0(x),....,Vn(x)), et ça marche!

[Médiat]

Merci, j'ai pris la suite de voisinages Wn(x)=Min(V0(x),....,Vn(x)), et ça marche!

Je ne suis pas sur de comprendre le coup du Min, mais en posant
et

cela devrait marcher

[A voir en vidéo sur Futura]