URGENT-Exercices de maths...prepa BCPST 1ere annee

[invitea4dc95c2]

bonjour a tous,
je viens de m'inscrire car j'ai rencontrer de petits problemes avec des exercices de maths sur la recurrence...il y en a 6 en tout:
-montrer que pour tout n entier naturel, 2^n>n
-montrer que pour tout n entier naturel, 2^(n-1)<=n!<=n^n
-montrer que pour tout n entier naturel:
-1+2+3...+n=n(n+1)/2
-1+3+5...(2n-1)=n^2
-1^3+2^3+3^3...+n^3=n^2*(n+1)^2/4
-1*2+2*3...+n*(n+1)= n(n+1)(n+2)/3
j'ai deja cherche dans mes cours de terminale et dans ma tete toute la journee d'hier, mais je n'avais deja pas tout compris...
merci d'avance pour votre aide
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[invite7ec123bc]

Bonjour,

Il y a trois étapes dans le raisonnement par récurrence. On vérifie si la propriété est vraie au rang 0.Ensuite,on montre que s'il est vrai au rang p (entier naturel) (arbitrairement fixé) elle est vraie au rang p+1(c'est l'hérédité).On peut alors conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

Par exemple pour ton troisième exo:
Au rang 1,la propriété est vraie car
Au p, on suppose la propriété vraie on a donc
On va montrer qu'alors au rang p+1 on a
Pour montrer ça on part de
ce qui en développant te donne l'égalité demandée et te permet de conclure.

Bon courage pour les autres. Cordialement.

[invitea4dc95c2]

merci...mais j'ai du mal a faire la 2eme etape pour les autres...

[invite7ec123bc]

merci...mais j'ai du mal a faire la 2eme etape pour les autres...

En fait l'idée ici pour démontrer l'hérédité,c'est de partir de la véracité supposée de la propriété au rang p,pour démontrer que la propriété est vraie au rang p+1 .

Par exemple pour le premier je peux écrire car je suppose que la propriété est vraie au rang p.
En multipliant par 2 j'ai
et donc car
L'hérédité est donc bien démontrée.

Pour les sommes, tu peux ajouter le terme à l'égalité et développer comme je l'ai fait dans le message précédent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea4dc95c2]

d'accord..je crois que j'ai compris, je vais revoir ca...merci beaucoup!!!