décomposition

[invite7b3eba7f]

bonjour
j'aimerais décomposer une fonction du type P(x)/Q(X) en éléments simples
avec P(x)= (x-a1)(x-a2)...(x-a p-1)
et Q(x) = (x+ b1)(x+b2)...(x+bp)

les méthodes utilisées habituellement (réduction au même dénominateur, multiplication par (X + bi) et poser x=-bi) pour les "petits" polynômes donnent ici des résultats très compliqués...
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans un cas aussi général, si tu veux une expression explicite de la décomposition, la méthode usuelle, multiplication par et évaluation en conduit effectivement à des écritures lourdes, que l'on ne peut pas simplifier. Tu n'y peux rien, c'est ainsi...

Les résultats peuvent effectivement se simplifier pour des valeurs particulières des et des

Si tu veux seulement une forme générale de la décomposition, les termes en sont, à condition que les soient deux à deux distincts, et en notant la fraction initiale , les avec, pour tout , .

[invite7b3eba7f]

Peux-tu m'expliquer comment tu as trouvé cette expression des ri? Je ne vois pas trop...

[invite57a1e779]

Bonjour,

C'est un grand classique.

La fraction donnée est et le dénominateur admet la factorisation .

Pour calculer le terme de la décomposition, on multiplie par et l'on évalue en , ce qui conduit à la valeur .

Il te suffit d'utiliser la relation pour montrer que et obtenir le résultat que j'ai donné.

[A voir en vidéo sur Futura]