Equation second degré

[invite1c471c22]

Bonsoir, est-ce que quelqu'un peut me dire où est ma faute svp? car mon résultat ne semble pas correct:


Calcul de Delta:










Les racines sont donc :



















Pourtant, ca n'a pas l'air de marcher ...
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[shokin]

Si je remplace z par z1, j'obtiens :

qui devrait être égal à 0.

On peut encore éventuellement faire :

car



Mais après... je ne connais pas assez le domaine.



Ou alors, dans la résolution, il y a des étapes qu'on n'a pas le droit de faire car certaines conditions ne sont pas remplies.



Shokin

[Thorin]

Je ne vois pas le problème...les solutions trouvées sont bien racines !
Leur somme vaut bien -2cos(theta), et leur produit 1.

[Thorin]

Shokin, tu as du faire une erreur de calcul.
Si je remplace z par z1, et cherche à calculer la partie imaginaire, j'ai alors, en partie imaginaire : -2sin(theta)cos(theta)+2sin(the ta)cos(theta)=...0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c471c22]

Ok, c'est bon ca marche, j'ai trouvé.
Je bloque sur 2 autres, pas évidentes..



(Comment faire le signe barre svp?)


Puis l'autre

[shokin]

Oups ! quand j'ai vérifié, j'ai oublié le cos(theta) !

Je viens de refaire... et ça donne bien 0 !



Shokin

[shokin]

Ok, c'est bon ca marche, j'ai trouvé.
Je bloque sur 2 autres, pas évidentes..



(Comment faire le signe barre svp?)


Puis l'autre

Pour le premier, si l'on remplace z par a+bi, z/ par a-bi, on effectue, on met tout du même côté, on obtient un système de deux équations... Dans l'une, on met a en évidence, dans l'autre, on met b en évidence, on a alors 4 cas de figure, selon que a et b soient ou non égaux à zéro.

Au final, je trouve trois couples (a;b) où a et b sont réels, deux où le Z cherché est complexe non réel.



Shokin

[Thorin]

Pour la première, il pourrait être intéressant de passer au module ton égalité, et prouver ainsi que le module de z vaut forcément 1.
(en se souvenant que le module de z-1 et le module de z'-1 sont identiques, avec z'=conjugué de z).

Ensuite, peut être essayer de tout passer à l'argument, et te servir des propriétés telles que arg(z')=-arg(z), et arg(z²)=2arg(z)...

J'ai pas essayé, mais peut, être.

Edit : ou sinon, avec de la motivation, on fait la méthode qui marche quasi tout le temps, ie celle de Shokin

[shokin]

Le deuxième me semble relativement facile.



Shokin

[invite1c471c22]

Pour la 1ere, j'ai trouvé, z=0, z=1, z=i.
Pour la 2e, je vois pas..

[God's Breath]

Bonjour,

Pour la 2e, je vois pas..

Si , et sont les points d'affixes , et , l'équation est l'expression analytique de .
Géométriquement, la solution est la médiatrice du segment .

Analytiquement, est équivalent à ; tu poses avec et réels, tu développes les carrés des modules, et tu devrais obtenir une équation cartésienne de la fameuse médiatrice. Tu pourras décrire les solutions sous la forme , avec réel.

Ton problème vient sans doute de ce que cette équation a une infinité de solutions.

[shokin]

J'ai dû me fourrer à quelque part. Je n'ai pas trouvé les mêmes solutions que toi (sauf z=0). Et les tiennes marchent !

Mais je trouve aussi -i, qui me semble aussi marcher.

Par contre, comment as-tu fait pour trouver le z=1 ?



Heu... pour la deuxième équation, les barres désignent le module ?



Shokin

[God's Breath]

Bonjour,

Pour la première, il pourrait être intéressant de passer au module ton égalité, et prouver ainsi que le module de z vaut forcément 1.
(en se souvenant que le module de z-1 et le module de z'-1 sont identiques, avec z'=conjugué de z).

Bonne idée, qu'il faut à mon avis développer en utilisant que, si , on a de façon à se ramener à une équation en seulement.

[invite7e606ce4]

z^2+ 2zcos(thêta)+1=0
de la forme ax^2+bx+c=0

delta=b^2-4ac
=4cos^2(thêta)-4
=4(cos^2(thêta)-1)
=-4sin^2(thêta)
racine delta= 2isin(theta)

z1= (-b - racine delta)/(2a)
= (-2cos(theta) - 2isin(theta))/2 = -(cos(theta)+isin(theta))
=-exp(theta)

de même

z2= (-b + racine delta)/(2a)
= cos(theta)+isin(theta)
= exp(theta)

[invite1c471c22]

Pour la 2 je tombe sur:
















Mais, est-ce la bonne direction? Si je resoud ça avec Bézout, vous pensez que c'est bon?

[God's Breath]

Bonjour,

Pour la 2 je tombe sur:

J'espère que tu ne t'es pas fait mal...

...

Mais, est-ce la bonne direction? Si je resoud ça avec Bézout, vous pensez que c'est bon?

Je n'ai pas vérifié tes calculs, mais c'est ce qu'il faut faire.
L'ensemble des solutions est donc l'ensemble des complexes avec , que tu peux réécrire comme l'ensemble des complexes de la forme avec réel.
Ce n'est pas un problème d'arithmétique, on ne se restreint pas aux valeurs entières de et , donc l'utilisation du théorème de Bezout est tout à fait hors de propos.