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Calcul d'intégrale par résidus



  1. #1
    Arias

    Calcul d'intégrale par résidus


    ------

    Bonjour, je suis en spé et j'ai un dm qui contient une petite initiation aux résidus .
    Soit F(X) avec deg(F(X)) < -1 sans pôle réel.
    Je passe les questions préliminaires que j'ai réussi à traiter .

    On me demande de montrer que f . x -> F(z) - sum( Res(F,z) / (x-z ) )est intégrable sur R .

    Il me semble que l'ont peut utiliser le fait que cette différence est égale à la somme des autres termes de la décomposition en éléments simples qui sont donc de multiplicité au moins deux alors chaque terme est intégrable par comparaison avec l'exemple de riemann (1/x^2) en l'infini.

    Ensuite il me faut montrer le résultat ( F(z) )= 2i (pi) sum(Res(F,z)) pour z P+ ( ensemble des poles de F dont la partie imaginaire est positive ) = -2i(pi) sum(Res (F,z)) pour z P- ( ensemble des poles de f dont la partie imaginaire est négative .

    Que je n'arrive pas à établir.

    Merci de votre aide .

    -----

  2. #2
    Taar

    Re : Calcul d'intégrale par résidus

    Citation Envoyé par Arias Voir le message
    Bonjour, je suis en spé et j'ai un dm qui contient une petite initiation aux résidus .
    Soit F(X) avec deg(F(X)) < -1 sans pôle réel.
    Bonjour. Je suppose que F est une fraction rationnelle...

    Citation Envoyé par Arias Voir le message
    On me demande de montrer que f . x -> F(z) - sum( Res(F,z) / (x-z ) )est intégrable sur R .

    Il me semble que l'ont peut utiliser le fait que cette différence est égale à la somme des autres termes de la décomposition en éléments simples qui sont donc de multiplicité au moins deux alors chaque terme est intégrable par comparaison avec l'exemple de riemann (1/x^2) en l'infini.
    Remplace F(z) par F(x) et je suis d'accord. Mais le plus important est : combien vaut l'intégrale ?

    Citation Envoyé par Arias Voir le message
    Ensuite il me faut montrer le résultat ( F(z) )= 2i (pi) sum(Res(F,z)) pour z P+ ( ensemble des poles de F dont la partie imaginaire est positive ) = -2i(pi) sum(Res (F,z)) pour z P- ( ensemble des poles de f dont la partie imaginaire est négative .
    Je suppose que tu parles de

    Pose-toi les questions suivantes :
    combien vaut la somme de tous les résidus ?
    combien vaut :
    quand Im z>0 ?
    quand Im z<0 ?
    Les réponses à mes quatre questions suffisent à répondre au problème posé.

    Amicalement,
    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 14/09/2008 à 03h39.

  3. #3
    Taar

    Re : Calcul d'intégrale par résidus

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Combien vaut :
    Oops. Je voulais dire :

  4. #4
    Arias

    Re : Calcul d'intégrale par résidus

    F est bien une fraction rationnelle, mon énoncé donne bien F(z) même si effectivement ce doit être F(x). L'intégrale de mon application f est nulle étant donné que f(x) = Somme de tous les termes de la décomposition en éléments simples de multiplicité supérieure ou égale à deux et que j'ai montré précédemment que int( 1 / (x-z)^n ) = 0. pour n > ou égal à 2.

    Il viendrait donc que int( F(x)dx) = int( sum( Res(F,z) / ( x - z ) )
    = sum(Res(F,z) int( 1 / (x-z) ) .
    Mon problème serait que surement par erreur de raisonnement la non intégrabilité sur R de (1 / (x-z)) car équivalent à (1/x).

    J'ai aussi déja calcul la primitive de 1/(x-z) .
    Merci de ton aide .

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Taar

    Re : Calcul d'intégrale par résidus

    Oui, n'est pas intégrable (d'où mon second post). Note par ailleurs que est intégrable.

    Maintenant, bien que ne soit pas intégrable, la limite existe et peut être calculée ! Ceci permet de calculer

  7. #6
    Arias

    Re : Calcul d'intégrale par résidus

    J'avais calculé la limite et elle me paraissait non finie ^^ Ce qui m'amenait à penser que je faisais une erreur de raisonnement. Bref , merci beaucoup .

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