Calcul d'intégrale par résidus

[invite8c23cda9]

Bonjour, je suis en spé et j'ai un dm qui contient une petite initiation aux résidus .
Soit F(X) avec deg(F(X)) < -1 sans pôle réel.
Je passe les questions préliminaires que j'ai réussi à traiter .

On me demande de montrer que f . x -> F(z) - sum( Res(F,z) / (x-z ) )est intégrable sur R .

Il me semble que l'ont peut utiliser le fait que cette différence est égale à la somme des autres termes de la décomposition en éléments simples qui sont donc de multiplicité au moins deux alors chaque terme est intégrable par comparaison avec l'exemple de riemann (1/x^2) en l'infini.

Ensuite il me faut montrer le résultat ( F(z) )= 2i (pi) sum(Res(F,z)) pour z P+ ( ensemble des poles de F dont la partie imaginaire est positive ) = -2i(pi) sum(Res (F,z)) pour z P- ( ensemble des poles de f dont la partie imaginaire est négative .

Que je n'arrive pas à établir.

Merci de votre aide .
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[invite9cf21bce]

Bonjour, je suis en spé et j'ai un dm qui contient une petite initiation aux résidus .
Soit F(X) avec deg(F(X)) < -1 sans pôle réel.

Bonjour. Je suppose que F est une fraction rationnelle...

On me demande de montrer que f . x -> F(z) - sum( Res(F,z) / (x-z ) )est intégrable sur R .

Il me semble que l'ont peut utiliser le fait que cette différence est égale à la somme des autres termes de la décomposition en éléments simples qui sont donc de multiplicité au moins deux alors chaque terme est intégrable par comparaison avec l'exemple de riemann (1/x^2) en l'infini.

Remplace F(z) par F(x) et je suis d'accord. Mais le plus important est : combien vaut l'intégrale ?

Ensuite il me faut montrer le résultat ( F(z) )= 2i (pi) sum(Res(F,z)) pour z P+ ( ensemble des poles de F dont la partie imaginaire est positive ) = -2i(pi) sum(Res (F,z)) pour z P- ( ensemble des poles de f dont la partie imaginaire est négative .

Je suppose que tu parles de

Pose-toi les questions suivantes :

combien vaut la somme de tous les résidus ?
combien vaut :

quand Im z>0 ?
quand Im z<0 ?

Les réponses à mes quatre questions suffisent à répondre au problème posé.

Amicalement,
Taar.

[invite9cf21bce]

Combien vaut :

Oops. Je voulais dire :

[invite8c23cda9]

F est bien une fraction rationnelle, mon énoncé donne bien F(z) même si effectivement ce doit être F(x). L'intégrale de mon application f est nulle étant donné que f(x) = Somme de tous les termes de la décomposition en éléments simples de multiplicité supérieure ou égale à deux et que j'ai montré précédemment que int( 1 / (x-z)^n ) = 0. pour n > ou égal à 2.

Il viendrait donc que int( F(x)dx) = int( sum( Res(F,z) / ( x - z ) )
= sum(Res(F,z) int( 1 / (x-z) ) .
Mon problème serait que surement par erreur de raisonnement la non intégrabilité sur R de (1 / (x-z)) car équivalent à (1/x).

J'ai aussi déja calcul la primitive de 1/(x-z) .
Merci de ton aide .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Oui, n'est pas intégrable (d'où mon second post). Note par ailleurs que est intégrable.

Maintenant, bien que ne soit pas intégrable, la limite existe et peut être calculée ! Ceci permet de calculer

[invite8c23cda9]

J'avais calculé la limite et elle me paraissait non finie ^^ Ce qui m'amenait à penser que je faisais une erreur de raisonnement. Bref , merci beaucoup .