Convergence de nu_n

[invite78db18db]

Bonjour à tous,

Pour finir un problème, j'ai réussi à réduire la plupart des questions à l'étude de la suite n u_n.

Voici ma question,
Soit u_n positive, décroissante est tendant vers 0, existe t'il un moyen de démontrer (si c'est vrai) que n u_n converge ?

Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Que penses-tu de la suite de terme général ?

[invite78db18db]

J'ai oublié de préciser que la série de terme général u_n converge... Mille excuses.

[invite57a1e779]

Indication : utilise le critère de Cauchy pour la convergence de la série de terme général et encadre au mieux la somme qui apparaît dans ce critére.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78db18db]

OK merci je vais essayer ça.

On ne peut pas utiliser la contraposée du critère de Riemman en prenant alpha = 1 ?

[invite57a1e779]

Je ne vois comment utiliser la contraposée du critère de Riemann avec aussi peu d'hypothèses sur la suite u_n

[invite78db18db]

Ok impec

Merci
Au passage je pense avoir prouvé que nu_n ne peut pas converger vers autre chose que 0.
Aurais tu un contre exemple d'une suite qui converge vers k != 0 si la suite n'est pas monotone, j'ai beau cherché je trouve pas :/

Merci encore

[invite57a1e779]

La monotonie n'a rien à voir avec la nullité de la limite :
Si est convergente, mais de limite non nulle, alors et la série de terme général est divergente.

[invite78db18db]

c'est comme ça que j'avais prouvé que l=0

mais sans l'hypothèse sur la décroissante on ne peut pas minorée uk par un dans la somme.
Du coup ce n'est plus pareil pour prouver la convergence de nu_n.
Mais bon c'était juste pour savoir par curiosité !

[invite57a1e779]

En fait la situation est : si la série de terme général positif est convergente, alors la suite est soit divergente, soit convergente de limite nulle.

Ton exercice consiste à montrer que si la suite est de plus décroissante, alors on est dans le cas où converge vers 0.