Sur les moments d'une v.a réelle positive

[invite4d2821a3]

Bonjour,

voici le problème auquel je suis confronté:
Soit et deux variables aléatoires réelles positives dont les loi sont définies par les densités et . J'appelle le moment d'ordre de (idem avec ):

et je suppose que les loi considérées ont des moments à tout ordre.
Je suppose enfin:

quand tend vers l'infini.
Ma question est:
Puis-je en déduire que:

quand tend vers l'infini.

L'exemple canonique suivant porte à le croire. Prenons des loi exponentielles d'intensité pour et pour :

(idem pour en remplaçant par )
On a:

d'où il vient:

et on a bien:


Cela semble assez logique que cela puisse se généraliser, mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour le vérifier ou l'infirmer (contre exemple ??).

Merci d'avance pour vos idées !
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[Jeanpaul]

Effectivement on a l'impression que seule une loi exponentielle permet d'avoir des moments à tous les ordres.
Ceci dit, on peut imaginer que fY soit une loi en exp(-x/K) sin(Lx) et à ce moment les moments existeront, leur rapport tendra vers 0 si les coefficients sont bons mais le rapport fX/fY ne tendra pas vers zéro.

[invite4d2821a3]

Oui pour l'idée de contre exemple. On a l'habitude de densité monotone décroissante, mais rien interdit un "oscillement amorti". Cependant je corrige un peu le contre exemple car il faut une densité positive:

avec:

On peut encore calculer les moments de , ce que j'ai essayé de faire et ma conclusion est que ça ne constitue en effet un contre exemple. Il suffit de prendre et . On garde:

car en multipliant l'exponentielle par une sinusoïde positive, on ne faut que corriger les moment d'un facteur dépendant de mais équivalent en l'infini à un facteur constant positif! Finalement à chaque multiple de , et donc n'est pas négligeable devant à strictement parler!
Par contre en supposant en plus que les densités sont monotones (comme l'exponentielle, et comme les lois que je manipule), la question se pose encore !

Merci pour le contre exemple