Théorème soi-disant très pratique à la démonstration inconnue ?

[herman]

Bonjour,

Lors de mon dernier cours d'électromagnétisme, le prof nous a posé une égalité en disant que c'était super, très pratique et qu'on ne trouvait la démonstration nulle part mais :
- 1) Je doute que ce soit si indémontrable que ça
- 2) Je ne sais même pas en quoi c'est si "super"...

C'est :
u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)

Franchement là je ne vois pas, qui y a t-il à comprendre ? Et au passage si c'est vraiment si pertinent merci de m'en dire + (parce que notre prof ne semblait pas très au courant niveau mathématiques...)
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[invitec317278e]

c'est quoi, u ?

[invite171486f9]

je crois que u repésente une grandeur scalaire dépendant de 3 variables (2 dans l'espace + le temps t)
C'est pratique pour étudier les équations d'onde, parce que lorsque tu as une équation différentielle (souvent avec des dérivées partielles) admettant comme solution u, alors ta solution u dépend en même temps de 2 grandeurs dans l'espace x et y et d'une grandeur dans le temps t. Peu pratique pour résoudre.
Donc on pose U(x,y,t)=X(x).Y(y).Z(z)
avec des variables séparables, tu considère U comme scalaire de 3 fonctions dépendant chacune d'1 seul paramètre.
Tu peux donc maintenant obtenir 3 équa diff, une pour chaque grandeur x, y et t, puis les résoudre facilement une par une

[herman]

Justement Thorin rien n'est vraiment clair.

Je vais vous mettre ce qui précède cette formule posée comme ça :

est le laplacien avec donc trois dérivées secondes (x, y et z...)
Solutions élémentaires
Soit u une composante quelconque du champ

Et ensuite il nous pose sa formule.

Il n'y a pas de t ici mais c'est bien une équation de propagation .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite171486f9]

ok, alors il semble qu'il y ait z à la place de t ^^
mais comme tu as un laplacien dans ta formule, ca t'indique qu'il y a ta fonction E qui dépend de 3 dérivées secondes par rapport à x, y et z.
Donc pour des questions de simplifications et surtout de résolution de l'équa diff régissant la propagation de l'onde, on pose 3 solutions indépendantes et dépendant chacune d'un suel paramètre.
Les dérivées secondes sont ainsi calculables...
Moi, je trouve au contraire cette formule posée très utile

[herman]

Oui biensur elle est très utile mais ce que je ne comprends pas c'est qu'il nous dise "bon la démonstration est compliquée et on ne la trouve dans aucun bouquin".

Comment on "démontre" une telle chose ?

[invite57a1e779]

Oui biensur elle est très utile mais ce que je ne comprends pas c'est qu'il nous dise "bon la démonstration est compliquée et on ne la trouve dans aucun bouquin".

Cette méthode est pratiquée pour des équations linéaires.

On commence par chercher des solutions particulières en séparant les variables, dans ton cas sous la forme , ce qui ramène à déterminer 3 fonctions d'une seule variable comme solutions d'équations différentielles sympathiques.

Mais une telle solution peut ne pas convenir pour les conditions initiales données.

Comme l'équation est linéaire, toute combinaison linéaire des solutions particulières obtenues est encore solution de l'équation de départ. Parfois, on peut ainsi trouver la solution pour les conditions initiales données.

Dans la plupart des cas, une combinaison linéaire des solutions particulières ne permet pas d'obtenir la solution voulue; on essaie alors la somme d'une série de solutions particulières. Cela demande que la série converge, et que la somme de la série soit solution de l'équation de départ.

Pour les équations usuelles de la physique, on montre que lorsque la série converge, sa somme est bien solution de l'équation différentielle ; on peut même souvent prouver que l'on obtient, grâce aux sommes de séries, toutes l'équation différentielle.

[herman]

Ok merci .