Bonjour,

J'ai quelques questions concernant la théorie de l'intégration de Lebesgue et je voudrais avoir votre avis.
D'abord quelques notations :
désigne un espace mesuré. Si on suppose espace topologique désignera sa tribu des boréliens.
est muni de sa tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue
est muni de sa tribue complété.

Alors voilà mes questions :

(1) Pour continue, est-ce que est mesurable?

(2) Pour espace toplogique. Soit une suite de fonctions convergeant simplement presque partout vers , est-ce que est mesurable ? Même question en remplaçant par .
Si besoin vous pouvez rajouter des hypothèses sur ; genre métrique séparable.

(3) Est-ce que la mesure de Lebesgue est régulière sur munie de la tribu complété ?

(4) Est-ce que le théorème de convergence dominée s'applique pour des fonctions de vers ? (Il faut avoir la réponse à la question 2 pour bien traiter celle là)

(5) Est-ce que les fonctions continues à support compacts sont dense dans . Celà revient à dire est-ce qu'on a égalité . (La réponse à la question 3 donnerait une piste)

(6) Est-ce que les fonctions continues à support compacts sont dense dans . (Il faudrait avoir la réponse à toutes les questions précédentes, surtout la 1...)


Voilà merci de donner toute réflexion utile. L'axiome du choix est autorisé à condition de préciser son utilisation.