QCM sur les suites.

[invitef2708712]

Bonjour, je voudrais, si c'est possible, avoir une correction de ce QCM, sachant que les trois questions suivantes sont indépendantes et que, pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes:


1/ On considère trois suites (u(n)), (v(n)), (w(n)) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes: u(n) _< v(n) _< w(n), lim u(n) quand n tend vers +infini = -1 et lim w(n) quand n tend vers +infini = 1. Alors:
a) lim v(n) quand n tend vers +infini = 0.
b) La suite v(n) est minorée.
c) Pour tout n appartient N, on a: -1 _< v(n) _< 1.
d) On ne sait pas dire si la suite (v(n)) a une limite ou non.

2/ Une suite (u(n)) est définie sur N par: {u(0) = 1,5 et u(n+1) = 2u(n) -1.
a) La suite (u(n)) converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équation y = x et y = 2x -1.
b) La suite (v(n)), définie sur N par v(n) = u(n) -1, est géométrique.
c) La suite (v(n)) est majorée.
d) La suite (w(n)), définie sur N par w(n) = ln (u(n) -1) est arithmétique.

3/ La suite (u(n)) est définie, pour tout n appartient N, par: u(n) = 1 + 1/2 + 1/(2)² + ... + 1/(2)^n.
a) La suite (u(n)) est arithmétique.
b) La suite (u(n)) est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
c) Pour tout n appartient N, u(n) = 2 - 1/(2)^n.
d) Pour tout n appartient N, u(n) = (n + 1)(1 + 1/(2)^n).

Je vous remercie pour l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

P.S.: Mes propositions sont en rouges.
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[invite57a1e779]

1/ On considère trois suites (u(n)), (v(n)), (w(n)) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes: u(n) _< v(n) _< w(n), lim u(n) quand n tend vers +infini = -1 et lim w(n) quand n tend vers +infini = 1. Alors:
a) lim v(n) quand n tend vers +infini = 0.
b) La suite v(n) est minorée.
c) Pour tout n appartient N, on a: -1 _< v(n) _< 1.
d) On ne sait pas dire si la suite (v(n)) a une limite ou non.

a) FAUX : par exemple , et
b) VRAI : avec minorant de la suite qui est bornée car convergente.
c) FAUX : par exemple , et
d) VRAI : voir l'exemple du a)

2/ Une suite (u(n)) est définie sur N par: {u(0) = 1,5 et u(n+1) = 2u(n) -1.
a) La suite (u(n)) converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équation y = x et y = 2x -1.
b) La suite (v(n)), définie sur N par v(n) = u(n) -1, est géométrique.
c) La suite (v(n)) est majorée.
d) La suite (w(n)), définie sur N par w(n) = ln (u(n) -1) est arithmétique.

a) FAUX : voir b)
b) VRAI, de raison 2, de premier terme 0,5, donc diverge vers , et aussi
c) FAUX : voir b)
d) VRAI

3/ La suite (u(n)) est définie, pour tout n appartient N, par: u(n) = 1 + 1/2 + 1/(2)2 + ... + 1/(2)^n.
a) La suite (u(n)) est arithmétique.
b) La suite (u(n)) est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
c) Pour tout n appartient N, u(n) = 2 - 1/(2)^n.
d) Pour tout n appartient N, u(n) = (n + 1)(1 + 1/(2)^n).

a) FAUX : voir c)
b) VRAI
c) VRAI : utiliser la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.
d) FAUX : la bonne valeur est celle de c)