Orbites périodiques

[invitebca5b7ab]

Bonjour,
j'ai beaucoup de mal avec cet exo, un petit coup de pouce, un indice, ou des explications seraient bienvenues. Je suis en PCSI.
Voila le sujet,

Soit F un ensemble non vide et g une application de F vers F. Une partie T de F est dite orbite périodique de g de période p si elle remplit les conditions suivantes :
- T est stable par g
- T a exactement p éléments
- les seules parties de T stables par g sont "le vide" et T

Soit T une Orbite et a un élément de T
1. Montrer qu'il existe deux entiers m et t satisfaisant : 0<=m<t<=p et g^(m)(a)=g^(t)(a) (g^m = g composé m fois)
Dans la suite on note b=g^m (a) et q=t-m
2. Montrer que p=q et que b est un point fixe de g^p
3. Montrer que a est point fixe de g et donner en fonction de a tous les éléments de T.

Merci beaucoup.
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[invitebca5b7ab]

Up ^^

J'ai répondu à la 1ére question d'aprés le principe des tiroirs très évident, mais je ne sais pas si j'ai le droit.
Question 2, j'ai répondu à la 2éme partie de la question.

Merci de m'aider.

[Thorin]

Si je ne m'abuse, pour la 2, l'idée est de dire que si l'écart entre t et m est "trop faible", alors, on reviendra au "même point" après peu de compositions...ce qui veut aussi dire que un certain ensemble est stable par g...un ensemble dont le cardinal...

Je te laisse le loisir de rédiger convenablement.

[invitebca5b7ab]

Je ne suis pas sûr d'avoir tout saisi. Tu peux m'en dire plus?

Un ensemble de cardinal 1? Je dois rendre ce DM demain. Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Je vais alors être un peu plus explicite.


Si l'écart entre t et m était strictement inférieur à p, on aurait l'ensemble qui aurait une particularité assez gênante, quelle est-elle ?

[invitebca5b7ab]

Je séche ^^

[Thorin]

Et bien, c'est une partie de T stable par g, qui n'est ni égale à l'ensemble nulle, ni égale à T...c'est donc contradictoire avec l'énoncé.

Mais je crois que c'est un peu trop tard...