Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

[inviteb396c4bb]

Bonsoir tt le monde!

"Petit soucis" pour déterminer les variations de :

ln(|x-2|) / ln(|x|)

La dérivée me donne :

[ [1/|x-2|].ln(|x|) - ln(|x-2|).(1/|x|) ] /(ln(|x|))²

Après c'est hyper compliqué, j'ai pensé effectuer une discussion sur la valeur de x ; il y a quatre cas :

x>3 ; 2<x<3 ; 0<x<2 ; x<0

Et c'est pas de la tarte, donc, j'imagine qu'il y a une solution ou une méthode beaucoup plus simple, mais je ne vois pas là... Qqn peut-il venir à mons secours SVP ^^ ? =)


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[invite57a1e779]

Bonjour,

"Petit soucis" pour déterminer les variations de :

ln(|x-2|) / ln(|x|)

La dérivée me donne :

[ [1/|x-2|].ln(|x|) - ln(|x-2|).(1/|x|) ] /(ln(|x|))²

Petit détail : la dérivée de est , pas .

La dérivée qui te pose problème est donc .

[inviteb396c4bb]

Bonjour,



Petit détail : la dérivée de est , pas .

La dérivée qui te pose problème est donc .

Au temps pour moi, ça simplifie la chose, je vais réessayer ...

Merci

[inviteb396c4bb]

J'ai a nouveau fait l'étude de fonction en prenant compte du "petit détail" ; j'ai tenté d'arranger l'équation pour obtenir un produit, mais la ca devient carrément une horreur :

ln[|x/(x-2)|^x . |x-2|²]/[x.(x-2)]

Auriez-vous une piste ? Je pense pas que la discussion sur x soit adéquate, vhangement de variable non plus (pourquoi faire ??) bref, ça fait qss heures que je poireaute la dessus

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il faut écrire la dérivée sous la forme .

Le signe du dénominateur est immédiat.
Le numérateur est de la forme , et on peut déduire son signe (dans beaucoup de cas...) de l'étude des variations de .

[inviteb396c4bb]

Ah ok je n'avais pas pensé a g(x)-g(x-2) :S

Merci bcp !

[inviteb396c4bb]

Encore moi :S

J'ai fait l'étude de xln|x|, j'ai trouvé :

xln|x| croissante pour x<-1
décroissante -1<x<0
décroissante 0<x<1
croissante x>1

Ce qui pose pas mal de problemes, étant donné que l'on a xln|x|-(x-2)ln(|x-2|) et je ne connais pas de moyens de savoir quel est le signe de la différence aux points au voisinage de -1, 0 et 1 ... je ne vois vraiment pas quoi faire la !! Help please =)

[invite57a1e779]

Encore moi :S

J'ai fait l'étude de xln|x|, j'ai trouvé :

xln|x| croissante pour x<-1
décroissante -1<x<0
décroissante 0<x<1
croissante x>1

Déjà, il me semble que tu t'es trompé et que ce sont les valeurs et qui limitent les intervalles sur lesquels la fonction (que j'appellerai dans la suite) est monotone...

Allons-y pour les cas faciles :

1. Si , alors et par croissance de sur .

2. Si , alors et .

3. Si , alors et .

4. Si , alors et par croissance de sur .

Reste le cas ennuyeux .

Sur , la fonction est convexe car , et le graphe est "au-dessus" de sa tangente au point 1, donc , l'égalité n'ayant lieu que pour .

La fonction définie par est concave sur car , et le graphe est "au-dessous" de sa tangente au point 1, donc , l'égalité n'ayant lieu que pour .

On a finalement sur avec égalité uniquement lorsque .

Je te conseille de tracer (ou de faire tracer...) les graphes de et de pour voir comment s'établit la comparaison sur chacun des intervalles que j'ai considérés.