Variation de ln(|x-2|)/ln|x|
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Variation de ln(|x-2|)/ln|x|



  1. #1
    inviteb396c4bb

    Variation de ln(|x-2|)/ln|x|


    ------

    Bonsoir tt le monde!

    "Petit soucis" pour déterminer les variations de :

    ln(|x-2|) / ln(|x|)

    La dérivée me donne :

    [ [1/|x-2|].ln(|x|) - ln(|x-2|).(1/|x|) ] /(ln(|x|))²

    Après c'est hyper compliqué, j'ai pensé effectuer une discussion sur la valeur de x ; il y a quatre cas :

    x>3 ; 2<x<3 ; 0<x<2 ; x<0

    Et c'est pas de la tarte, donc, j'imagine qu'il y a une solution ou une méthode beaucoup plus simple, mais je ne vois pas là... Qqn peut-il venir à mons secours SVP ^^ ? =)


    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

    Bonjour,

    Citation Envoyé par walérian Voir le message
    "Petit soucis" pour déterminer les variations de :

    ln(|x-2|) / ln(|x|)

    La dérivée me donne :

    [ [1/|x-2|].ln(|x|) - ln(|x-2|).(1/|x|) ] /(ln(|x|))²
    Petit détail : la dérivée de est , pas .

    La dérivée qui te pose problème est donc .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    inviteb396c4bb

    Re : Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Bonjour,



    Petit détail : la dérivée de est , pas .

    La dérivée qui te pose problème est donc .

    Au temps pour moi, ça simplifie la chose, je vais réessayer ...

    Merci

  4. #4
    inviteb396c4bb

    Re : Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

    J'ai a nouveau fait l'étude de fonction en prenant compte du "petit détail" ; j'ai tenté d'arranger l'équation pour obtenir un produit, mais la ca devient carrément une horreur :

    ln[|x/(x-2)|^x . |x-2|²]/[x.(x-2)]

    Auriez-vous une piste ? Je pense pas que la discussion sur x soit adéquate, vhangement de variable non plus (pourquoi faire ??) bref, ça fait qss heures que je poireaute la dessus

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

    Il faut écrire la dérivée sous la forme .

    Le signe du dénominateur est immédiat.
    Le numérateur est de la forme , et on peut déduire son signe (dans beaucoup de cas...) de l'étude des variations de .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    inviteb396c4bb

    Re : Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

    Ah ok je n'avais pas pensé a g(x)-g(x-2) :S

    Merci bcp !

  8. #7
    inviteb396c4bb

    Re : Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

    Encore moi :S

    J'ai fait l'étude de xln|x|, j'ai trouvé :

    xln|x| croissante pour x<-1
    décroissante -1<x<0
    décroissante 0<x<1
    croissante x>1

    Ce qui pose pas mal de problemes, étant donné que l'on a xln|x|-(x-2)ln(|x-2|) et je ne connais pas de moyens de savoir quel est le signe de la différence aux points au voisinage de -1, 0 et 1 ... je ne vois vraiment pas quoi faire la !! Help please =)

  9. #8
    God's Breath

    Re : Variation de ln(|x-2|)/ln|x|

    Citation Envoyé par walérian Voir le message
    Encore moi :S

    J'ai fait l'étude de xln|x|, j'ai trouvé :

    xln|x| croissante pour x<-1
    décroissante -1<x<0
    décroissante 0<x<1
    croissante x>1
    Déjà, il me semble que tu t'es trompé et que ce sont les valeurs et qui limitent les intervalles sur lesquels la fonction (que j'appellerai dans la suite) est monotone...

    Allons-y pour les cas faciles :

    1. Si , alors et par croissance de sur .

    2. Si , alors et .

    3. Si , alors et .

    4. Si , alors et par croissance de sur .

    Reste le cas ennuyeux .

    Sur , la fonction est convexe car , et le graphe est "au-dessus" de sa tangente au point 1, donc , l'égalité n'ayant lieu que pour .

    La fonction définie par est concave sur car , et le graphe est "au-dessous" de sa tangente au point 1, donc , l'égalité n'ayant lieu que pour .

    On a finalement sur avec égalité uniquement lorsque .

    Je te conseille de tracer (ou de faire tracer...) les graphes de et de pour voir comment s'établit la comparaison sur chacun des intervalles que j'ai considérés.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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