Problème espace vectoriel ; dim(Im(f)) + dim(Im(g)) = dim(E)

invite67d2e663 · 06/10/2008, 11h19

Bonjour à tous,

Je suis en prépa et on nous a demandé de développer une démonstration sur ce sujet :

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soient f et g deux endomorphismes de E tel que :

f o g = 0;
f + g est inversible

Montrer que dim(Im(f)) + dim(Im(g)) = dim(E)

Je me suis cassé pendant des heurs à trouver des solutions sur mon brouillon, mais rien a faire je ne vois pas par ou commencer...
Pouvez vous me donner quelques explications.

Merci d'avance

inviteb0df2270 · 06/10/2008, 12h36

Bon, déjà, puisque f + g est bijective, elle est en particulier injective et surjective. Donc le théorème du rang te donne que dim(Im(f+g)) = dim(E).

Comme je n'aime pas donner la solution toute faite, je vais juste t'indiquer ce qui sert pour finir la preuve : la formule de Grassman

invitee38efe6a · 16/10/2008, 16h16

Slt tout le monde!

C'est parce que f o g = 0 que l'on peut dire que f + g est bijective ??

Le théorème du rang donne [dim E = dim Ker f + dim Im f]

mais pas ce que tu as donné : dim(Im(f+g)) = dim(E)

comment tu peux expliquer l'equivalence?

désolé pour toutes ce questions.
merci.

inviteb0df2270 · 16/10/2008, 19h38

**correction en cours ***

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebaa82421 · 16/10/2008, 19h52

Bonjour,

Si f + g est inversible, alors elle est bijective. De plus, son noyau est réduit à l'origine, d'où la formule.

inviteb0df2270 · 16/10/2008, 20h13

En fait c'est encore plus simple que ce que je pensais

Il n'y a pas besoin d'utiliser Grassmann !

On va montrer que $\text{[math]}$ est inférieur ou égal à $\text{[math]}$ .

En effet, si $\text{[math]}$ , alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ ,
ce qui permet d'écrire $\text{[math]}$ .
Ensuite, puisque $\text{[math]}$ est inversible (càd bijective, donc surjective ET injective car on est en dimension finie), on a $\text{[math]}$ .

Mais $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ , et par conséquent $\text{[math]}$ par théorème du rang.

On conclut en remarquant que la dernière inégalité s'écrit aussi $\text{[math]}$ , or on a vu précedemment que $\text{[math]}$ .

On a donc l'égalité demandée.

invitee38efe6a · 17/10/2008, 21h44

^^

il me reste une lacune qui m'empêche de saisir pourquoi :
parce que fog = 0 , Im(g) C Ker(f)

Bravo pour ton soutien!

inviteb0df2270 · 17/10/2008, 22h07

Soit $\text{[math]}$ . Alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ (c'est la définition de $\text{[math]}$ ).

Or, puisque $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

Ainsi, $\text{[math]}$

invitee38efe6a · 18/10/2008, 14h30

ok merci bcp

Problème espace vectoriel ; dim(Im(f)) + dim(Im(g)) = dim(E)

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Re : Problème espace vectoriel ; dim(Im(f)) + dim(Im(g)) = dim(E)

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