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Isométries indirectes en dim 3



  1. #1
    Gpadide

    Isométries indirectes en dim 3


    ------

    Bonjour,

    j'ai réussi a trouver la forme de la matrice d'une isométrie indirecte en dimension 3 (avec le moins 1 en haut a gauche)
    Comment en déduire facilement que c'est la composée d'une rotation et d'une symétrie ?
    Au moins avec un dessin ?
    Merci.

    -----

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  4. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Bonjour,

    j'ai réussi a trouver la forme de la matrice d'une isométrie indirecte en dimension 3 (avec le moins 1 en haut a gauche)
    Comment en déduire facilement que c'est la composée d'une rotation et d'une symétrie ?
    Au moins avec un dessin ?
    Merci.
    En supposant que tu parles d'espace vectoriel et non d'espace affine (sinon tu évoquerais les translations):

    Soit c'est une symétrie, soit c'est l'inversion. Pas d'autre choix. Et l'inversion est telle que

    diag(-1, -1, -1) = diag(-1, 1, 1) * diag(1, -1, -1)

    soit une symétrie par une rotation.

    La démo est simple sur les valeurs propres. Elles sont de module 1, et le produit est -1. Deux possibilités seulement, une ou trois égales à -1... Une seule à -1, c'est une symétrie, les trois à -1, c'est l'inversion.

    Cordialement,

  5. #3
    Gpadide

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    tout ca c'est ce que j'ai deja montré comme je l'ai dis dans mon premier post. Ce que je comprends pas c pkoi dans le cas ou la dim de E-1 est 1, (avec la matrice correspondante) on peut "comprendre" que c'est une composition ?

  6. #4
    invité576543
    Invité

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    tout ca c'est ce que j'ai deja montré comme je l'ai dis dans mon premier post. Ce que je comprends pas c pkoi dans le cas ou la dim de E-1 est 1, (avec la matrice correspondante) on peut "comprendre" que c'est une composition ?
    Je ne comprend pas ce que tu veux dire par "dim de E-1 est 1".

    Cordialement,

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    tout ca c'est ce que j'ai deja montré comme je l'ai dis dans mon premier post. Ce que je comprends pas c pkoi dans le cas ou la dim de E-1 est 1, (avec la matrice correspondante) on peut "comprendre" que c'est une composition ?
    Si j'interprète E-1 comme l'espace propre de la valeur -1, s'il est de dimension 1, c'est une symétrie, et toute symétrie est la composition d'une symétrie (elle-même) et d'une rotation (l'identité, qui est une rotation d'angle 0 autour d'un axe quelconque).

    Cordialement,

  9. #6
    homotopie

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    La démo est simple sur les valeurs propres. Elles sont de module 1, et le produit est -1. Deux possibilités seulement, une ou trois égales à -1... Une seule à -1, c'est une symétrie, les trois à -1, c'est l'inversion.
    oui pour les matrices diagonalisables : soit on est sur R et alors toutes les matrices ne le sont pas, soit on est sur C et d'autres valeurs que 1 et -1 sont possibles.
    Autre moyen de voirqu'il ya un problème : Trace (symétrie)=1 trace (inversion)=-1 donc est non connexe.

    Reprenons, on a déjà -1 comme valeur propre (c'est donc presque fini). Soit un v.p. x associée à cette valeur propre, et soit P le plan orthogonal à la doite <x>. Comme on a une isométrie et que <x> est stable P est stable pour cette isométrie. La restriction au plan P est une isométrie directe (dét(iso sur R^3)=dét(iso sur <x>)xdét(iso sur P) (car matrice diagonalisable par bloc, par exemple). Une isométrie directe dans un plan est une rotation.
    L'iso de R^3 est la composée de la symétrie de plan P, et de l'unique rotation d'axe <x> coïncidant avec la rotation de P trouvée précédemment.

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  11. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    oui pour les matrices diagonalisables
    Ce n'est pas nécessairement le cas dans le cas d'une isométrie dans R3? Il me semblait que oui, de mémoire, mais je n'ai pas cherché à retrouver le raisonnement. (Et j'imaginais que c'était déjà trouvé dans le raisonnement amenant à la question du message #1.)

    Cordialement,

  12. #8
    homotopie

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Ce n'est pas nécessairement le cas dans le cas d'une isométrie dans R3? Il me semblait que oui, de mémoire, mais je n'ai pas cherché à retrouver le raisonnement. (Et j'imaginais que c'était déjà trouvé dans le raisonnement amenant à la question du message #1.)

    Cordialement,
    Crois-tu que ce soit le cas pour une rotation d'axe (Oz) qui ne soit ni l'idendité ni la symétrie d'axe (Oz). Quelles eraient les droites propres mis à part (Oz) ?
    Tu confonds avec les matrices symétriques je pense.

  13. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Crois-tu que ce soit le cas pour une rotation d'axe (Oz) qui ne soit ni l'idendité ni la symétrie d'axe (Oz). Quelles eraient les droites propres mis à part (Oz) ?
    T'as raison, j'aurais dû consacrer quelques secondes de plus de réflexion avant d'écrire

    Cordialement,

  14. #10
    Gpadide

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Oubliez ma question alors je me suis mal fait comprendre. Je voudrais juste savoir comment interpreter géométriquement la matrice dont je parle (-1, cos, sin etc...)

  15. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Oubliez ma question alors je me suis mal fait comprendre. Je voudrais juste savoir comment interpreter géométriquement la matrice dont je parle (-1, cos, sin etc...)
    Je vais essayer de ne plus dire de conneries...

    Il me semble que tu parles des isométries que l'on trouve par exemple dans les anti-prismes. Prend deux triangles équilatéraux parallèles, dont les centres sont sur une même droite perpendiculaire à leur plan (l'axe). Décalons les deux triangles de 60° (vu dans l'axe ). Le polyèdre à 6 sommets obtenu est un anti-prisme, qui possède en particulier comme symétrie une isométrie de la forme que tu indiques (avec une rotation de 60°).

    Dessiner ou fabriquer de tels polyèdres me semble une bonne manière de visualiser ces symétries.

    En espérant que ça aide...

    Cordialement,

  16. #12
    invité576543
    Invité

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Complément:

    Un bon exercice (à mon idée) est de trouver les 48 symétries d'un cube ou d'un octaèdre. Il y a en a 24 directes et 24 indirectes.

    Les 24 directes sont faciles à voir:

    - l'identité
    - 8 rotations de 1/3 (dans un sens ou l'autre)
    - 3 rotations de 1/2 selon les axes passant par les milieux des faces du cube
    - 6 rotations de 1/4 (dans un sens ou l'autre)
    - 6 rotations de 1/2 selon les axes passant par les milieux d'arêtes

    Les 24 indirectes sont plus intéressantes:

    - l'inversion
    - 8 rotations-symétries de 1/3 : celles que tu cherches à visualiser
    - 3 symétries par rapport à des plans perpendiculaires aux axes passant par les milieux des faces du cube
    - 6 rotations-symétries de 1/4: celles que tu cherches à visualiser
    - 6 symétries par rapport à des plans perpendiculaires aux axes passant par les milieux d'arêtes

    En prenant un cube et en le manipulant, on arrive à "voir" ces isométries, y compris celles dont on a moins l'habitude, l'inversion et les rotations-symétries.

    Dans la liste, l'ordre est tel que les indirectes sont celles obtenues par la combinaison des rotations correspondantes et de l'inversion.

    Tj en espérant que ça aide...

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 19/06/2007 à 13h51.

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  18. #13
    Gpadide

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Ok merci je vais essayer. Par ailleurs, est il possible de faire apparaitre la matrice dont je parle sous la forme d'un produit de 2 matrices, l'une de rotation, l'autre de symétrie ?

  19. #14
    Taar

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Salut.

    En raisonnant par blocs diagonaux (un bloc de taille 1, un bloc de taille 2), on voit que



    Notant D la droite vectorielle engendrée et orientée par le premier vecteur de ta base, si tu as préservé l'orientation dans ton changement de base orthonormale, tu vois que ton isométrie est la composée :
    • d'une rotation d'angle autour de D
    • de la symétrie orthogonale par rapport à l'orthogonal de D
    Le produit ci-dessus commute, donc la composée peut être prise dans n'importe quel ordre.

    Taar.

  20. #15
    Gpadide

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Salut.

    En raisonnant par blocs diagonaux (un bloc de taille 1, un bloc de taille 2), on voit que



    Notant D la droite vectorielle engendrée et orientée par le premier vecteur de ta base, si tu as préservé l'orientation dans ton changement de base orthonormale, tu vois que ton isométrie est la composée :
    • d'une rotation d'angle autour de D
    • de la symétrie orthogonale par rapport à l'orthogonal de D
    Le produit ci-dessus commute, donc la composée peut être prise dans n'importe quel ordre.

    Taar.

    Merci c'etait exactement ca ma question du début en fait ! Juste j'ai du mal a visualiser pourquoi la seconde est une matrice de symétrie orthogonale

  21. #16
    Taar

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Alternativement, on peut écrire (encore une fois, ça commute) :



    et l'isométrie est la composée de :
    • la symétrie centrale
    • la rotation d'axe D et d'angle

    Taar.

  22. #17
    Gpadide

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Ok mais c'est un 1 pas un moins 1 en haut a gauche de la 3eme matrice non ?

  23. #18
    Taar

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Ok mais c'est un 1 pas un moins 1 en haut a gauche de la 3eme matrice non ?
    Oups, oui pardon.

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Juste j'ai du mal a visualiser pourquoi la seconde est une matrice de symétrie orthogonale
    est involutive.

    Donc c'est la matrice d'une symétrie par rapport à Ker(A-I) de direction Ker(A+I). Les deux sous-espaces propres sont orthogonaux car la matrice est symétrique. Ker(A+I) n'est autre que la droite D.

    Taar.

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  25. #19
    Taar

    Re : Isométries indirectes en dim 3

    Graphiquement ça donne :

    une droite (engendrée par le premier vecteur de la base)
    un plan (engendré par les deux autres vecteurs de la base)

    La base étant orthonormale, droite et plan sont orthogonaux.

    L'isométrie :
    • renverse les vecteurs de la droite
    • conserve les vecteurs du plan

    D'où le schéma qui suit ; est le vecteur dont on cherche l'image , on le décompose en somme d'un vecteur du plan et d'un vecteur de la droite.

    Taar.
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