Isométries

[invitee75a2d43]

bonjour,

j´ai une question, si ça se trouve ce n´est de nouveau qu´une question de vocabulaire.

D´après les définitions que j´ai lues jusqu´à maintenant, je ne voit pas de différence entre

une application linéaire orthogonale d´une part
une isométrie d´autre part

Est-ce la même chose?

De plus je lis qu´une isométrie transforme une base orthonormée en une base orthonormée. La réciproque est-elle aussi vraie, peut-on dire que toute application linéaire transformant une base orthonormée et en une autre est une isométrie?

merci d´avance
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[invite4793db90]

Salut,

par exemple: une translation est-elle une isométrie? une application linéaire orthogonale?

Cordialement.

[invite35452583]

Bonjour,

une application orthogonale n'est pas nécessairement une isométrie, contre-exemple : les homothéties.

Une application linéaire qui envoie une base orthonormée sur une base orthonormée est bien une isométrie. Pour le voir il suffit d'écrire les normes dans ces bases.

Ainsi, une application orthogonale est la composée d'une isométrie et d'une homothétie.

[invite4793db90]

Ainsi, une application orthogonale est la composée d'une isométrie et d'une homothétie.

Aux dernières nouvelles, une translation est une isométrie, et je ne vois pas en quoi c'est une application linéaire...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Les translations ne sont pas inutiles.
Pour les applications affines orthogonales (qui envoie toute base orthogonale de l'espace vectoriel sous-jacent sur une autre base orthogonale de ce même espace vectoriel) il faut ajouter une translation à la décomposition précédente (mais on perd l'unicité car on perd la commutativité)

Cordialement

[invitee75a2d43]

bon vous n´avez pas l´air d´être d´accord.

Ai-je bien compris qu´une isométrie, n´est pas nécessairement une application linéaire, à plus forte raison n´est pas Synonyme d´ application linéaire orthogonale?

cordialement

[invite4793db90]

Salut,

ce qu'a dit homotopie est juste, mis à part la phrase que j'ai reprise qui méritait précision.

En résumé:
- une isométrie n'est pas toujours une application linéaire (comme les translations)
- une application linéaire n'est pas toujours une isométrie (comme les homothéties)

Cordialrement.

[invitee75a2d43]

Salut,

En résumé:
- une isométrie n'est pas toujours une application linéaire (comme les translations)
- une application linéaire n'est pas toujours une isométrie (comme les homothéties)

Cordialrement.

Excuse moi d´insister: puis-je donc affirmer qu´une application linéaire orthogonale est toujours une isométrie? La réciproque est fausse, c´est clair.

cordialement

christophe

[invite4793db90]

Excuse moi d´insister: puis-je donc affirmer qu´une application linéaire orthogonale est toujours une isométrie? La réciproque est fausse, c´est clair.

cordialement

christophe

Un endomorphisme orthogonal est une isométrie: mieux, il conserve le produit scalaire.

Je me suis laissé tromper par homotopie au message #3 : une homothétie n'est pas orthogonale!!!

Cordialement.

[invitee75a2d43]

Je viens de recevoir la réponse suivante de mon prof au sujet des isométries et des applications linéaires orthogonale:

D´abord ma question que je lui ai posée:

"Je n´arrive pas à distinguer la différence entre une application linéaire orthogonale et une isométrie. Elles sont toutes les deux définies comme des applications qui conservent le produit scalaire et la norme."

Sa réponse:

"Les deux notions coïncident effectivement dans le cadre des espaces euclidiens (espaces de dimension finie munis d'un produit scalaire) même si elles ne répondent pas à la même question : l'isométrie conserve la distance, l'application orthogonale a pour inverse sa transposée. Les notions deviennent différentes quand on travaille dans des espaces de dimension infinie : il y a alors des isométries qui ne sont pas des applications bijectives."

cordialement

[invite14919153]

jusqu'à preuve du contraire, une isométrie = un endomorphisme orthogonal sur un espace euclidien

[invite35452583]

Désolé pour mon erreur sur la définition d'orthogonal.
Pour me rattraper exemple d'isométrie qui n'est pas orthogonal :
E=suites réelles dont la somme des acrrés converge.
Produit classique
A(x1,x2,...)=(0,x1,x2..) iso non surjectif donc non orthogonal n'existe pas

[invite4793db90]

jusqu'à preuve du contraire, une isométrie = un endomorphisme orthogonal sur un espace euclidien

Mouais ça dépend du contexte quand même: une isométrie est d'une manière générale une bijection (d'un espace métrique dans un autre) qui conserve les distances.

Après, dans le cadre de l'algèbre linéaire, on devrait plutôt les appeler isométries vectorielles pour éviter la confusion. Car une translation est une isométrie (non non je ne radote pas ).

Cordialement.

[invite4793db90]

Désolé pour mon erreur sur la définition d'orthogonal.

Ca c'est l'habitude de travailler dans les quotients SO(n), SL(n) ou PSL(n)...