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Isométries



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    Isométries


    ------

    bonjour,

    j´ai une question, si ça se trouve ce n´est de nouveau qu´une question de vocabulaire.

    D´après les définitions que j´ai lues jusqu´à maintenant, je ne voit pas de différence entre

    une application linéaire orthogonale d´une part
    une isométrie d´autre part

    Est-ce la même chose?

    De plus je lis qu´une isométrie transforme une base orthonormée en une base orthonormée. La réciproque est-elle aussi vraie, peut-on dire que toute application linéaire transformant une base orthonormée et en une autre est une isométrie?

    merci d´avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : isométries

    Salut,

    par exemple: une translation est-elle une isométrie? une application linéaire orthogonale?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    homotopie

    Re : isométries

    Bonjour,

    une application orthogonale n'est pas nécessairement une isométrie, contre-exemple : les homothéties.

    Une application linéaire qui envoie une base orthonormée sur une base orthonormée est bien une isométrie. Pour le voir il suffit d'écrire les normes dans ces bases.

    Ainsi, une application orthogonale est la composée d'une isométrie et d'une homothétie.

  5. #4
    martini_bird

    Re : isométries

    Citation Envoyé par homotopie
    Ainsi, une application orthogonale est la composée d'une isométrie et d'une homothétie.
    Aux dernières nouvelles, une translation est une isométrie, et je ne vois pas en quoi c'est une application linéaire...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : isométries

    Les translations ne sont pas inutiles.
    Pour les applications affines orthogonales (qui envoie toute base orthogonale de l'espace vectoriel sous-jacent sur une autre base orthogonale de ce même espace vectoriel) il faut ajouter une translation à la décomposition précédente (mais on perd l'unicité car on perd la commutativité)

    Cordialement

  8. #6
    christophe_de_Berlin

    Re : isométries

    bon vous n´avez pas l´air d´être d´accord.

    Ai-je bien compris qu´une isométrie, n´est pas nécessairement une application linéaire, à plus forte raison n´est pas Synonyme d´ application linéaire orthogonale?

    cordialement

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  10. #7
    martini_bird

    Re : isométries

    Salut,

    ce qu'a dit homotopie est juste, mis à part la phrase que j'ai reprise qui méritait précision.

    En résumé:
    - une isométrie n'est pas toujours une application linéaire (comme les translations)
    - une application linéaire n'est pas toujours une isométrie (comme les homothéties)

    Cordialrement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    christophe_de_Berlin

    Re : isométries

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    En résumé:
    - une isométrie n'est pas toujours une application linéaire (comme les translations)
    - une application linéaire n'est pas toujours une isométrie (comme les homothéties)

    Cordialrement.
    Excuse moi d´insister: puis-je donc affirmer qu´une application linéaire orthogonale est toujours une isométrie? La réciproque est fausse, c´est clair.

    cordialement

    christophe

  12. #9
    martini_bird

    Re : isométries

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Excuse moi d´insister: puis-je donc affirmer qu´une application linéaire orthogonale est toujours une isométrie? La réciproque est fausse, c´est clair.

    cordialement

    christophe
    Un endomorphisme orthogonal est une isométrie: mieux, il conserve le produit scalaire.

    Je me suis laissé tromper par homotopie au message #3 : une homothétie n'est pas orthogonale!!!

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  13. #10
    christophe_de_Berlin

    Re : isométries

    Je viens de recevoir la réponse suivante de mon prof au sujet des isométries et des applications linéaires orthogonale:

    D´abord ma question que je lui ai posée:

    "Je n´arrive pas à distinguer la différence entre une application linéaire orthogonale et une isométrie. Elles sont toutes les deux définies comme des applications qui conservent le produit scalaire et la norme."

    Sa réponse:

    "Les deux notions coïncident effectivement dans le cadre des espaces euclidiens (espaces de dimension finie munis d'un produit scalaire) même si elles ne répondent pas à la même question : l'isométrie conserve la distance, l'application orthogonale a pour inverse sa transposée. Les notions deviennent différentes quand on travaille dans des espaces de dimension infinie : il y a alors des isométries qui ne sont pas des applications bijectives."

    cordialement

  14. #11
    basilic

    Re : isométries

    jusqu'à preuve du contraire, une isométrie = un endomorphisme orthogonal sur un espace euclidien

  15. #12
    homotopie

    Re : Isométries


    Désolé pour mon erreur sur la définition d'orthogonal.
    Pour me rattraper exemple d'isométrie qui n'est pas orthogonal :
    E=suites réelles dont la somme des acrrés converge.
    Produit classique
    A(x1,x2,...)=(0,x1,x2..) iso non surjectif donc non orthogonal n'existe pas

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  17. #13
    martini_bird

    Re : isométries

    Citation Envoyé par basilic
    jusqu'à preuve du contraire, une isométrie = un endomorphisme orthogonal sur un espace euclidien
    Mouais ça dépend du contexte quand même: une isométrie est d'une manière générale une bijection (d'un espace métrique dans un autre) qui conserve les distances.

    Après, dans le cadre de l'algèbre linéaire, on devrait plutôt les appeler isométries vectorielles pour éviter la confusion. Car une translation est une isométrie (non non je ne radote pas ).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #14
    martini_bird

    Re : Isométries

    Citation Envoyé par homotopie

    Désolé pour mon erreur sur la définition d'orthogonal.
    Ca c'est l'habitude de travailler dans les quotients SO(n), SL(n) ou PSL(n)...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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