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Problème probabilité



  1. #1
    Y2Jeremy

    Problème probabilité


    ------

    Bonjour,
    J'ai un dm de math avec pour énoncé :
    Une personne se trouve devant une porte fermées à clé. Elle dispose d'un trousseau de n clés parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Quelle est la probabilité Pk qu'elle ouvre la porte au k-ième essai ?
    1° La personne oublie les clés essayés
    2° Elle ne les oublie pas

    En faisant par l'expérience, j'arrive pour la 1 à (1/n)*((n-1)/n)^(k-1) et la 2, 1/(n-k+1) mais je ne vois pas comment le justifier.
    P.S : je suis en Terminal S

    -----

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  3. #2
    Brikkhe

    Re : problème probabilité

    Alors...

    Il a n clés.
    Il va en choisir 1 parmi n (pour le 1er essai),
    puis 1 parmi (n-1) (pour le 2e essai)
    puis 1 parmi (n-2) (pour le 3e essai)
    ...
    puis 1 parmi (n-(k-1)) (pour l'avant dernier essai)
    puis 1 parmi (n-k) (pour le k-ième essai (soit encore le dernier essai)...)

    C'est bon maintenant?
    Dernière modification par Brikkhe ; 17/02/2006 à 12h52.

  4. #3
    Y2Jeremy

    Re : problème probabilité

    Je pense que (n-(k-1)) c'est pour le dernier essai car on obtient une probabilité de 1 (k=n). Mais ce n'est pas une démonstration. Pour la 1 j'ai trouvé avec bernoulli dans le livre mais nous ne l'avons pas encore fait en cour.

  5. #4
    Brikkhe

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Brikkhe
    Alors...

    Il a n clés.
    Il va en choisir 1 parmi n (pour le 1er essai),
    puis 1 parmi (n-1) (pour le 2e essai)
    puis 1 parmi (n-2) (pour le 3e essai)
    ...
    puis 1 parmi (n-(k-2)) (pour l'avant dernier essai)
    puis 1 parmi (n-(k-1)) (pour le k-ième essai (soit encore le dernier essai)...)

    C'est bon maintenant?
    Effectivement, j'ai fais ca en vitesse tout à l'heure, dsl.
    Mais on ne veut pas vraiment de démonstration, on veut un calcul (enfin... selon moi...)

    donc
    proba d'avoir la bonne au premier coup multiplié (car c'est un "tirage" "sans remise", on additionnerait si on "remettait" les clés déjà choisies) par la proba de l'avoir au 2e choix multiplié par... multiplié par la proba d'avoir la bonne clé au k-ième choix soit:



    on peut aussi l'écrire avec des factorielles.

    @pluche!
    Dernière modification par Brikkhe ; 17/02/2006 à 14h22.

  6. #5
    Y2Jeremy

    Re : problème probabilité

    oui, nous sommes d'accord

    Mais que penses-tu de la première situation?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Brikkhe

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Brikkhe
    Ceci est le nombre de choix possible (en prenant en compte l'ordre de choix).

    S'il trouve la bonne clé au k-ième choix, alors, il faut prend en compte le nombre de clés présentes lors de ce choix.
    Si l'on ne remet pas les clés déjà choisies précédemment, on aura:

    n clés lors du 1er choix
    (n-1) clés lors du 2-ième choix
    (n-2) clés lors du 3-ième choix
    ...
    (n-(k-2)) clés lors du (k-1)-ième choix
    (n-(k-1)) clés lors du k-ième choix

    on a donc 1 chance sur (n-(k-1)) de trouver la bonne clé

    Si l'on remet les clés après chaque tirage, on n'aura toujours le même nombre de clés cad...?
    et donc on aura toujours 1 chance parmi ce nombre de clés de trouver la bonne...

    @pluche!

    PS: j'en fais trop et je devrais te faire plus chercher par toi même... la prochaine fois, tu vas chercher!

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  10. #7
    Michèle57

    Re : problème probabilité

    Je sais maintenant pourkoi j'ai fais un bac et une fac de lettres

  11. #8
    GuYem

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Michèle57
    Je sais maintenant pourkoi j'ai fais un bac et une fac de lettres

    Bienvenue sur le forum de maths !

    Tu ne savais pas avant de venir ici pourquoi tu avais choisi de faire des lettres ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    matthias

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Michèle57
    Je sais maintenant pourquoi j'ai fait un bac et une fac de lettres
    Pour apprendre le français aux matheux ?

  13. #10
    yat

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Brikkhe
    on a donc 1 chance sur (n-(k-1)) de trouver la bonne clé
    Pour moi ça ne passe pas. Illustration rapide, 3 clés.
    Pour le troisième essai, la formule donne une probabilité de 1. Ca c'est la probabilité de trouver au troisième essai sachant qu'elle n'a pas été trouvée lors des deux premiers essais, ce qui ne correspond pas à l'énoncé tel qu'il est posé.

    Lors du premier essai, on a de manière évidente une probabilité d'1/3 de trouver la clé.
    Si on n'a pas trouvé au premier essai, on a une probabilité de 1/2 de trouver la clé. Mais comme cette situation n'a qu'une probabilité de 2/3 de se produire, la probabilité de trouver au deuxième essai es 1/2*1/3 = 1/3.

    De même la probabilité de trouver au troisième essai est également de 1/3. Donc pour un tirage sans remise (c'est à dire si on se souvient des clés qu'on a utilisées), la probabilité de trouver la clé au k-ieme essai est 1/n.

  14. #11
    Brikkhe

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par yat
    1/2*1/3 = 1/6
    Mais cet exo est bien un exo de probas c'est à dire: discutable mais aussi très mal expliqué
    si on n'a pas trouvé la clé au tirage 7, s'il y a 19 clés, la probabilité de trouver au tirage 11 est de soit car on aura enlevé 10 clés lors des 10 choix précédents...

    Maintenant, il faut voir si il faut prendre en compte la proba d'arriver au tirage k ou pas...

    @pluche!

  15. #12
    yat

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Brikkhe
    Citation Envoyé par yat
    1/2*1/3 = 1/6
    Ou plus précisément, 1/2*2/3=1/3... merci de la correction, même si elle est un peu à coté
    Citation Envoyé par Brikkhe
    si on n'a pas trouvé la clé au tirage 7, s'il y a 19 clés, la probabilité de trouver au tirage 11 est de soit car on aura enlevé 10 clés lors des 10 choix précédents...
    Tout est là : tu es obligé de commencer ta phrase par un si. Donc, probabilités conditionelles. Or, là, ce qu'on demande, c'est la probabilité de trouver la clé au kieme essai. Tout court. On ne demande pas la probabilité de trouver la clé au kieme essai sachant que les précédents ont été infructueux.

    Alors moi je lis l'énoncé, je prends comme exemple n=3, je fais 2500 tests et au bout de 2500 tests je me rends compte que j'ai trouvé la clé 829 fois au premier essai, 837 fois au deuxième et 834 fois au troisième essai. (Non, je n'ai pas fait le test... mais si quelqu'un pense que je risque d'obtenir des résultats totalement différents, qu'il m'explique pourquoi ) Alors si on me dit que la probabilité de trouver la clé au troisième essai est de 1, je réponds "certainement pas".

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  17. #13
    Y2Jeremy

    Re : problème probabilité

    moi je suis d'accord avec Brikkhe

    Cela me paraît juste

  18. #14
    Brikkhe

    Re : problème probabilité

    (Pour la correction, yat, ce n'était pas dans le but de pinailler ou de vouloir faire des mimiques et me la péter à corriger les autres hein, tu t'en doutes. Je sais que certains essayent parfois de ridiculiser les autres etc C'est vrai que j'ai répondu à coté mais je n'ai pas fais attention aux calculs, je me préoccupais du fond de l'exo avant car pendant les DS, j'ai trop tendance à me lancer dans les calculs sans meme réfléchir à ce que je fais donc, j'essaie de me corriger )

    Mais donc, soit on veut calculer la probabilité de trouver la bonne clé LORS du k-ième tirage (il ne faut donc pas s'occuper de la probabilité qu'il ait lieu ou non), soit on veut la probabilité de trouver la clé à un choix k (donc il faut prendre en compte la proba d'arrive à ce choix k)

    A méditer

    @pluche et bon week end à tous!

  19. #15
    Michèle57

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par matthias
    Pour apprendre le français aux matheux ?
    hou le méchant
    elle était facile celle là
    d'abord j'ai pas dit que j' avais réussi mes exams
    En fait j'étais venue sur ce forum par curiosité, mais j'avoue que je trouve cela hyper compliqué.
    En tous cas je vous trouve costauds.
    Bon je me suis relue, j éspère que jé pa fé deux fote cet foi
    bon courage à tous

  20. #16
    matthias

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Michèle57
    elle était facile celle là
    J'avoue
    J'aurais pu m'abstenir ...

  21. #17
    Brikkhe

    Re : problème probabilité

    Michèle, je ne sais pas si je suis le seul (en tout cas, je ne pense pas...) mais je vous trouve extremmement courageux et j'admire tout ceux qui s'interesse à la littérature, à la philo, à l'histoire... et qui en font leur métier ou qui suivent des cursus dans ces filières...

    @pluche!

  22. #18
    homotopie

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par yat
    Tout est là : tu es obligé de commencer ta phrase par un si. Donc, probabilités conditionelles. Or, là, ce qu'on demande, c'est la probabilité de trouver la clé au kieme essai. Tout court.
    Totalement d'accord avec Yat.
    Les réponses de Brikkhe corresponde à la question "Quelle est la probabilité que la personne trouve à la k-ème clé sachant qu'elle en a déjà essayé (k-1) ?"

    Le début de solution proposée par yat introduit la probabilité conditionnelle de l'évènement "la personne n'a pas trouvé avant la k-ème clé" car ceci est intrinsèque à la situation : il faut bien arriver à la situation où la personne essaye une k-ème clé pour que ce soit la bonne.

    La somme des Pk pour tous les k possibles est égal à 1. Le plus trivial est la 1ère situation, si Pk=1/n, cette somme est infinie! Avec la solution initialement proposée par Y2Jeremy pour cette même situation la somme vaut 1. Par contre Y2Jeremy, ta solution pour le 2 est mauvaise, tu n'as pas calculé la probabilité que la personne essaie la k-ème clé (càd qu'il se trompe les (k-1) premières fois).

    Un petit bonjour à Michèle57.

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  24. #19
    Michèle57

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Brikkhe
    Michèle, je ne sais pas si je suis le seul (en tout cas, je ne pense pas...) mais je vous trouve extremmement courageux et j'admire tout ceux qui s'interesse à la littérature, à la philo, à l'histoire... et qui en font leur métier ou qui suivent des cursus dans ces filières...

    @pluche!
    Bonjour

    Pourquoi certains aiment les haricots ,d'autres la viande. Moi j'aime les lettres et vous les chiffres.
    Je lis Corneille et Racine(tiens on a un point commun ) vous Pythagore et Thalès.
    Chacun fait selon ses attirances.
    Il est vrai que comme les maths ne m'ont jamais attirés je me suis tournée vers les langues et lettres.
    Mais il me semble qu'il y a plus de Garçons matheux et filles littéraires non ?
    Je vais m'en tenir , là car vous avez du boulot et le modo doit se dire que je pollue là, non matthias?
    Allez bonne journée à tous , mais je reviendrai car je lis vos raisonnements(même si je comprends pas grand chose)
    A bientôt
    Michèle

  25. #20
    yat

    Re : problème probabilité

    Citation Envoyé par Brikkhe
    Mais donc, soit on veut calculer la probabilité de trouver la bonne clé LORS du k-ième tirage (il ne faut donc pas s'occuper de la probabilité qu'il ait lieu ou non), soit on veut la probabilité de trouver la clé à un choix k (donc il faut prendre en compte la proba d'arrive à ce choix k)

    A méditer
    C'est tout médité : l'énoncé tranche clairement en décrivant la situation

    Une personne se trouve devant une porte fermées à clé. Elle dispose d'un trousseau de n clés parmi lesquelles une seule ouvre la porte.

    Voilà. On est devant la porte, pas en train de faire notre k-ieme essai. Alors quand on est devant la porte avec le trousseau en main et qu'on s'apprète à commencer, quelle est la probabilité ?

  26. #21
    Michèle57

    Re : Problème probabilité

    Rebonjour

    Depuis le 17/02 vous chercher la solution à ce problème de probabilité consistant à savoir au bout de combien d'essais la personne réussira à ouvrir cette maudite porte. Et bien moi j'ai la solution!!
    Du premier coup!!
    Pour cela il suffit de ..défoncer la porte!!
    bon j'y vais sinon Matthias va encore me tuer
    (bon ça va , c'était juste pour détendre un peu vos méninges qui carburent tant )
    Michèle

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