Complexe

[invite50203eb3]

Bonjour, je suis coincé à un question d'un devoir
Soient a, b, c 3 nombres complexes. On note A le module et un argument de (c-a)/(b-a) de sorte que (c-a)/(b-a)=Aei
on introduit de meme que (a-b)/(c-b)=Bei et (b-c)/(a-c)=Cei

J'ai deja prouvé que alpha+béta+gamma est congru à Pi modulo 2Pi

et que Aei+1/(B ei)=1
Bei+1/(Cei)=1
Cei+1/Aei=1

On veut démontrer l'équivalence suivante
le triangle abc est équilatéral les angles (ab,ac),(bc,ba),(ca,cb) ont meme mesure modulo 2

on suppose ici que le triangle abc est equilatéral
Il faut montrer que cos alpha=cos béta=cosgamma

voila c'est ici que je suis coincé Pouvez vous m'aidez?
merci
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[invitea3eb043e]

Un peu de géométrie te montrera que A est la rapport des longueurs AC/AB et que alpha est l'angle du triangle au sommet A.

[invite50203eb3]

oui merci j'avais trouvé

maintenant je dois trouver que le centre de gravité est le point (1-j)/3*(a-bj²)

[invitea3eb043e]

Je suppose qu'il s'agit du cas où le triangle est équilatéral.
Il faut alors calculer b et c en fonction de a et dire que l'affixe de G est (a+b+c)/3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50203eb3]

c'est bon j'ai trouver
il me reste une question qui me dérange
je sais que alpha béta et gamma sont de meme mesure ( soit égale à Pi/3 ou -Pi/3) et je dois en deduire que AB=AC=BC (je ne sais pas que le triangle abc est équilateral)

[invite50203eb3]

Est ce que c'est bon si je met ABj+1=BeiPi/3
ABj+1-BeiPi/3=0
en transformant l'expression devient ABj²+J+B=0
donc comme j²+j+1=0 alors AB=1
mais je suis pas sur vu que l'on ne sait pas que B=1