Quantification des points d'un segment...

[Quinto]

Pour répondre de manière plus complète:

0.999999.... une infinité de fois est une limite.
La limite de la suite:
0.9
0.99
0.999
0.9999
etc
Ainsi dire que 0.99999...=1 est très rigoureux.

Une preuve, rigoureuse elle aussi, est que
10*0.9999...=9.999999....

et
9.99999=9+0.999999

autrement dit notre nombre est solution de
10x=9+x
et x=1

Le problème est un problème d'imagination, cel étant ca ne choque personne de dire que
1/oo=0
En fait ca dit que la limite de 1/n lorsque n tend vers l'infini vaut 0.
ie:
plus n grandit et plus 1/n est aussi petit qu'on veut.

D'ailleurs qui est choqué par
1/3=0.3333333.....
(notons que si on multiplie à gauche et a droite on trouve
1=0.9999999...)
-----

[erik]

Excusez moi, je reviens un peu en arrière, précisément au mail 14 :

Citation:
Posté par Korgox
que faire si ton segment n'a que 2 points ?


Je vais dire que la convention pourrait repondre que :
si le milieu ne correspond a aucun point, le milieu deviens la moyenne des 2 points a proximité immediate.

La réponse est interressante si l'on a un "segment de 2 points", le milieu se définit comme la moyenne des deux points. Il semble naturel à ce moment de dire que l'on peut définir un nouveau point sur notre segment : le point qui est placé au milieu.
On a donc un "segment à 3 points", on peut réintérer l'opération et de proche en proche, on aura construit un segment contenant une infinité de point. En fait en formalisant un peu on s'aperçoit qu'il est "naturel" (mathématiquement parlant - c'est à dire en essayant de boucher les trous) de construire un ensemble de points (infini non dénombrable) indéxé par un nombre (que l'on n'a qu'à appeler nombre réel).

On fini par se retrouver avec nos nombres rééls et notre habituelle infinité de points sur notre segment.

[invite13d83d38]

Bonjour Quinto

Je comprends bien ce que tu veux dire pour une valeur à droite de la virgule dont les chiffres sont infinis mais si je raisonne par exemple seulement sur 3 décimales (comment définir la valeur d'une suite proche de 1 et celle qui n'y est pas, sans doute un espilon qui reste à déterminer) alors l'énoncé du problème est incorrect.
Mais je me pose alors la question : comment multiplier une suite infinie de chiffres (même en partie décimale) par 10 ?
Effectuer un décalage de la virgule sur la droite pour la multiplication par 10 doit m'amener à faire un décalage sur la gauche pour la division (toujours en base 10), donc la valeur de x ne change pas, ou alors je ne comprends plus rien ...
A+

[Quinto]

Salut, quand tu fais une multiplication par 10 tu dévales la virgule à droite.

En fait, ca va etre plus parlant ainsi:

un nombre, n'importe lequel, mettons 792.32 est :
7*100+9*10+3*1+3/10+2/100
Tu peux toujours l'écrire comme puissance de 10, c'est pour ca que c'est facile de mutliplier un nombre quelconque en base 10, par 10, meme s'il a un nombre de décimales infinis.

Il n'est par exemple pas simple de multiplier un tel nombre par 3, parce que ca ne revient pas à multiplier chacune des décimales par 3. Pour que ce soit vrai, il faudrait que tu sois en base 3...

Ici, on a un nombre, qui est x=0.99999.... c'est à dire
somme de 9/10^k pour k variant de 1 à l'infini.

tu multiplies par 10, et tu trouves
somme de 9/10^k pour k variant de 0 à l'infini.
=9+somme de 9/10^k pour k variant de 1 à l'infini.
=9+x
En fait l'idée est la, infini+1=infini, et c'est ce qui fait fonctionner l'idée.
En fait c'est tout betement la limite d'une série géométrique.

[SPH]

Ce qui serait interessant, c'est de ne plus jamais avoir de nombres avec une decimale infinie. De plus, cette tethnique permettrait de trouver PI avec un compas et une regle.
Enfin, moi, ce que j'en dis......

[Quinto]

Ca n'a aucun rapport.

[invite01697c65]

Pour répondre de manière plus complète:

0.999999.... une infinité de fois est une limite.
La limite de la suite:
0.9
0.99
0.999
0.9999
etc
Ainsi dire que 0.99999...=1 est très rigoureux.

Une preuve, rigoureuse elle aussi, est que
10*0.9999...=9.999999....

et
9.99999=9+0.999999

autrement dit notre nombre est solution de
10x=9+x
et x=1

Le problème est un problème d'imagination, cel étant ca ne choque personne de dire que
1/oo=0
En fait ca dit que la limite de 1/n lorsque n tend vers l'infini vaut 0.
ie:
plus n grandit et plus 1/n est aussi petit qu'on veut.

D'ailleurs qui est choqué par
1/3=0.3333333.....
(notons que si on multiplie à gauche et a droite on trouve
1=0.9999999...)

Bonjour a tous,

en mathématique , l'intuition nous joue souvent des mauvais tours
Ton raisonnement Quinto est faux
On ne peut pas mélanger les nombres réels, entiers, relatif ou autres.

on peut définir le nombre 0.999... par "zéro suivi d'une infinité de neuf après la virgule"
0.999... est un nombre réel

soit la suite u0 = 0.9 et u(n+1) = u0 + un/10
cette suite admet pour limit 0.999... et non pas 1

1/3 = 0.333... <=> "zero suivi d'une infinité de 3 après la virgule"

3*(1/3) = 1
3*0.333... = 1
mais 3*0.333 <> 0.999...

l'ensemble des réel est continu et infini, il y a donc une infinité de valeur entre 0.999... et 1
ces deux nombres ne sont pas égaux

Je vous conseille de vous intéresser aux travaux de Cantor sur les différents infinis, car non, il n'y a pas qu'un seul infini et c'est ca qui n'est pas si intuitif

[g_h]

Bonjour a tous,

en mathématique , l'intuition nous joue souvent des mauvais tours
Ton raisonnement Quinto est faux
On ne peut pas mélanger les nombres réels, entiers, relatif ou autres.

on peut définir le nombre 0.999... par "zéro suivi d'une infinité de neuf après la virgule"
0.999... est un nombre réel

soit la suite u0 = 0.9 et u(n+1) = u0 + un/10
cette suite admet pour limit 0.999... et non pas 1

1/3 = 0.333... <=> "zero suivi d'une infinité de 3 après la virgule"

3*(1/3) = 1
3*0.333... = 1
mais 3*0.333 <> 0.999...

l'ensemble des réel est continu et infini, il y a donc une infinité de valeur entre 0.999... et 1
ces deux nombres ne sont pas égaux

Je vous conseille de vous intéresser aux travaux de Cantor sur les différents infinis, car non, il n'y a pas qu'un seul infini et c'est ca qui n'est pas si intuitif

Je suis d'accord pour Cantor, c'est tout à fait interessant.

Sinon, il y a un autre sujet sur le problème qui doit encore être en première page qui traite de ce sujet.


tu dis : "On ne peut pas mélanger les nombres réels, entiers, relatif ou autres."
C'est complètement faux. Tu as appris au collège lycée que N € Z € D € Q € R € C € ... (je passe les suivants il y en a une infinité)

Les entiers naturels sont donc des réels, les relatifs aussi.

Tu ne peux rien intercaler entre 0.999999... et 1, donc 0.999999... = 1.
Et la limite de ta suite est 1.

C'est comme si tu disais que la limite de 1/x en 0 ce n'est pas l'infini, car on n'arrive jamais à l'infini.


Consulte l'autre sujet pour lire tout ce qui a déjà écrit, et je suppose qu'il y en a d'autres sur le forum.

[Quinto]

l'ensemble des réel est continu et infini, il y a donc une infinité de valeur entre 0.999... et 1
ces deux nombres ne sont pas égaux

Je vous conseille de vous intéresser aux travaux de Cantor sur les différents infinis, car non, il n'y a pas qu'un seul infini et c'est ca qui n'est pas si intuitif

C'est pas mal faux tout ca.

Trouve moi un nombre entre 0.9999... et 1.
Parfois on ne peut pas forcément les trouver, mais on peut montrer leur existence.
Montre moi qu'il en existe alors un

Il n'est pas question d'intuition ici, mais de preuve formelle.
D'autre part, Cantor n'a rien à faire ici.

[Evil.Saien]

Trouve moi un nombre entre 0.9999... et 1.

En gros il peut s'amuser en essayant de prouver que 1 - 0.999... = epsilon avec epsilon > 0...
Bonne chance

[Quinto]

Vous je sais pas, mais moi ca me parrait évident que s'il existe un nombre, il aura une infinité de chiffre 9 à la suite dans son développement décimal...

C'est quoi un ensemble continu?

[ClaudeH]

Bonjour
Effectivement, une infinité de 9, d'ailleur de 8 ou de 7 Peu importe.
De toute façon ce ne sont que des points de repairs et il ya aura toujours un espace entre eux. Notre cervau à besoin de points de repairs mais pas la nature.
Ce qui veux dire qu'en aucun cas nous ne pouvons juxtaposer une équation mathématique avec la réalité. A moins que nous puissions étalonner un continuum.
Le simple fait qu'existe des paradoxes mathématiques veux dire qu'on c'est trompé quelque part.
Pour parler de "pi" ais-je le droit de diviser ma circonference par un diamètre et de dire que c'est une "constante"? Alors que je n'ai qu'une "approximation".
Quadrature du cercle, paradoxe de zénon etc.. e=mc2, nous ne connaissons pas la vitesse exacte de la lumière.
Pourtant nous avons batti des pyramides..
Amicalement..

[invite0f5c0a62]

soit la suite u0 = 0.9 et u(n+1) = u0 + un/10
cette suite admet pour limit 0.999... et non pas 1

tu ne le démontre pas... c'est bizzare de trouver une limite égale à 0,999... c'est intuitif ou cela est vérifié ?

cherche un peu dans le forum maths, je pense que tu as une bonne démarche de l'exprimer selon une suite, mais il faut calculer la limite dans les règles de l'art )

1/3 = 0.333... <=> "zero suivi d'une infinité de 3 après la virgule"

3*(1/3) = 1
3*0.333... = 1
mais 3*0.333 <> 0.999...

Pourquoi ne mets tu pas les ... après 0.333 dans la dernière ligne ?

c'est marrant, pour ma part, je ne sais pas multiplier les quantités infinies.

l'ensemble des réel est continu et infini, il y a donc une infinité de valeur entre 0.999... et 1
ces deux nombres ne sont pas égaux

ça aussi c'est louche, un ensemble continu ? donc une infinité de valeur entre 0,999... et 1, mhh je crois que tu mélanges plusieurs notions. Peut être tu voulais dire est dense dans , mais on ne peux pas prendre comme hypothèse que 0,999... et 1 sont distincts, puisque c'est ce que tu cherches

sur les différents infinis, je sais que quelqu'un voulais démontrer qu'il n'y a pas la même infinité de termes dans N que dans R, en disant qu'entre [0,1] il y a 2 termes dans N, et une infinité dans R et donc en prolongeant, on en a une infinité de termes dans N et un infinité d'infinité de termes dans R. A partir de cela, il définit des "puissances d'infinis" comme des infinités d'infinis. Mais j'ai oublié le nom de l'auteur de ce truc loufoque, et j'en connais aucune application (

mais cela est sans rapport avec nos 0,999... et 1 dont une (plusieurs ?) explications sont données dans d'autres post sur le forum maths. Sinon, pour el raisonnement, je vote pour Quinto

[erik]

Bonjour à tous,

bon mis à part que 0.99999.....=1 (ben oui c'est ça les maths, quand quelque chose est démontré, c'est démontré), je voudrais "corriger" une phrase de Romain :

A partir de cela, il définit des "puissances d'infinis" comme des infinités d'infinis. Mais j'ai oublié le nom de l'auteur de ce truc loufoque, et j'en connais aucune application (

L'idée qu'il existe plusieurs "taille" d'infini n'a rien de loufoque. Il existe bien une différence entre l'infini des nombres entiers (infini dénombrable) et l'infini des réels (infini du continu).
On dit que deux ensembles (infini ou non) ont la même taille lorsqu'il est possible de construire une bijection entre eux.
Il n'existe aucune bijection possible entre N et R (la preuve est laissée en exercice Ah Ah Ah), N et R sont donc bien de taille différente.

Erik

[invite0f5c0a62]

Ok pour la bijection, je veux même bien accepter l'idée de différentes "taille" d'infinis. Dans le cas présent, comment peut-on définir une relation d'ordre ? ("infini de N < infini de R", heu je mets de gros guillements pour éviter les infarctus).

Il y'a peut être dans l'idée de taille une autre propriété que la comparaison

Que peut on faire de tous ces infinis ?

[Evil.Saien]

Ce qui veux dire qu'en aucun cas nous ne pouvons juxtaposer une équation mathématique avec la réalité. A moins que nous puissions étalonner un continuum.
Le simple fait qu'existe des paradoxes mathématiques veux dire qu'on c'est trompé quelque part.
Pour parler de "pi" ais-je le droit de diviser ma circonference par un diamètre et de dire que c'est une "constante"? Alors que je n'ai qu'une "approximation".

Mais qui parle de faire juxtaposer les maths a la réalité ?
mathématiquement 0.99... = 1, point barre, ca a été démontré x fois et rien d'incohérent la dedans. Après les approximations de la réalité a vrai dire on s'en moque un peu, c'est pas ce qui préoccupe le mathématicien qui viens de démonter la rélation mathématiquement.
C'est la même chose pour pi; le paradoxe de zénon a deja été débatu de nombreuse fois et reste bel et bien un faux paradoxe...
Il éxiste peut etre de vrais paradoxes mathématiques encore a l'heure actuel, mais je suis bien certain qu'il s'agit de maths qui me dépassent et plus de cas aussi simples infirmés depuis belle lurette !

++

[juan]

Que peut on faire de tous ces infinis ?

D'autres infinis.^^
Pour quantifier le nombre d'éléments d'un ensemble on parle de "cardinal".Tu aurais donc dû plutôt écrire :
card(N)<card(R)

Par contre, on a :
card(P(N)) = card(R)
où P(N) est l'ensemble des parties de N.
Exemple : l'ensemble {0,1,{0,1}} est inclus dans les parties de N.
Mais je ne pense pas que la démo soit à ma portée, sauf si une bijection simple est constructible.^^

Pour l'utilité pratique,ben heu...hmm hmm...je passe la main.

[SPH]

Quadrature du cercle, paradoxe de zénon etc.. e=mc2, nous ne connaissons pas la vitesse exacte de la lumière.
Pourtant nous avons batti des pyramides..
Amicalement..

Voila précisement de quoi je parle !
Des maths ayant une application physique !
Je veux dire que si l'on sais lancer une sonde au confin de l'espace avec des miliers de parametres dont les calculs comprennent parfois des nombres infini comme PI, il serait selon moi interessant de quantifier le nombre de chiffres après la virgule. Ca reviens très précisement a quantifier les points d'un segment. Imaginons que 1000 chiffres apres la virgule nous suffise pour aboutir a quoi que ce soit de physique sur terre ou dans l'espace, pourquoi ne pas s'en tenir la ? Pour ceux qui comprenne l'image, ce serait une sorte de "pixelisation" de l'univers qui nous entoure...
Quand qqun m'avais demandé ce que serait le point au milieu de 2 points qui sont cote a cote, j'ai dis "la moyenne des 2 points". Mais j'esitais a repondre car que repondre !! En fait, il serait bizzarement logique de repondre "le point au milieu des 2 points est curieusement l'un quelconque de ces 2 points".
Oui car etant a la limite de notre quantification, ayant utilisé nos 1000 chiffres apres la virgule, le 1001eme chiffre n'a pas d'importance puisqu'il n'est pas utile. C'est exactement comme quand 0.9999999999.......=1 dans le domaine infini.

[Evil.Saien]

Oui car etant a la limite de notre quantification, ayant utilisé nos 1000 chiffres apres la virgule, le 1001eme chiffre n'a pas d'importance puisqu'il n'est pas utile.

Si ca peut te faire plaisir...

[Quinto]

Quel intéret de débatre avec des gens qui, de toute facon ont raison, et aucune autre vision n'est possible.

Ensuite, pour ce qui est de nombre infini, ca ne veut rien dire.
Pour ce qui est d'un nombre dont le développement décimal est infini, c'est absolument arbitraire.

Par exemple, 1/3 en base 10 = 0.3333333333.... avec une infinité de 3
En bas 3, on a que 1/3=0.1 et la développement est bel et bien fini.
Le caractere fini du développement du nombre est donc complétement arbitraire, et ne permet pas de caracteriser ce nombre.

On peut faire de même avec tout nombre irationnel de degré n:
par exemple on va me dire que ce que je fais est bon dans une base de numération uniquement pour les rationnels, mais ce n'est pas vrai:
prenons racine de 2
Son polynome minimal est x²-2
Ainsi, je peux très bien écrire de manière finie racine de 2 comme étant la plus grande valeur positive annulée par le polynôme (1,0,-2)
Ainsi, le caractère positif pourrait s'exprimer par un 1 et le négatif par -1, à la suite de ce triplet et j'aurai que
(1,0,-2,1) est le plus grand nombre positif annulé par
1X²+0X-2=x²-2

Ainsi, (2,3,4,1) serait le plus grand nombre positif (ou de partie imaginaire négative)annulé par
2x²+3x+4
et
(2,3,4,-1) serait le plus grand nombre négatif (ou de partie imaginaire négative) annulé par
2x²+3x+4

ici ce sont respectivement
-3/4+Isqrt(23)/4, -3/4-Isqrt(23)/4
ou encore en base 10, avec 10 chiffres significatifs
-.75+1.198957881*I, -.75-1.198957881*I

Et comme aucun système n'est plus vrai qu'un autre....

[SPH]

Quel intéret de débatre avec des gens qui, de toute facon ont raison, et aucune autre vision n'est possible.

Pourquoi continues-tu alors à poster ?

[DonPanic]

Salut
SPH, si tu quantifies les points d'un segments, cela revient à donner une valeur numérique à la longueur de ton segment et à donner une dimension à un point qui n'en est plus un, par définition.
Inutile de réinventer le système métrique.

[ClaudeH]

Bonjour..

C'est intéressent de voir les points de divergence qu'il y a lorsque l'on veux quantifier l'infiniment petit.
Tout a fait d'accord avec "donpanic".
En physique quantique, on peut montrer que les concepts les plus évidents, ne s'appliquent plus à ce qui constitue pourtant les composants de tout ce qui existe. ce qui veut dire que le niveau fondamental du réel ne peu etre séparé par la pensée.
La physique quantique nous met face à deux niveaux de réalité.
1) Tout ce qui constiturait le "réel" pour la science classique
2) Réel loingtain ou nos concepts familliers ( temps, espace, trajectoire, notion de point materiel) ne s'appliquent plus.

Il y aurait-il deux réalités mathématiques?

Amicalement++

[invite01697c65]

"l'intuition joue parfois des mauvais tour"

voila que ca s'applique à moi

0.9... = 1

en fait tout ce qui me manquait pour me convaincre, c'était une vrai démonstration et non des
"3*1/3 = 3 * 0.333... = 0,999... donc 0.999... = 1"
ce qui ne me parait pas évident, justement parce qu'on traite avec des quantités infinies

la démo je l''ai trouvé dans l'autre sujet traitant du pb

enfin ca fout mal au crane tout ca, et finalement c'est un peu frustrant, mais passionnant, de tomber dans des jeux de notation

Pour Cantor, ce que je voulais dire, c'était que l'infini des entier n'est pas le même que l'infini des réels, et que c'est pour ca qu'il ne faut mélanger les deux.

[invite21126052]

bonjour à tous

nous ne connaissons pas la vitesse exacte de la lumière.

euh... il me semble pourtant que la vitesse de la lumiere est definie comme valant exactement 299 .... metre par seconde; ou plus exactement, on definit le metre à partir de cette vitesse; dans ce cas, la vitesse de la lumiere est bien une valeur exacte, non?

http://www1.bipm.org/fr/si/base_units/

ou alors je n'ai pas compris l'interet du message

[Quinto]

"l'intuition joue parfois des mauvais tour"

voila que ca s'applique à moi

0.9... = 1

en fait tout ce qui me manquait pour me convaincre, c'était une vrai démonstration et non des
"3*1/3 = 3 * 0.333... = 0,999... donc 0.999... = 1"

En fait c'est réellement une démonstration:

3/3=3*1/3=3*0.333333...=0.99999...

Pourquoi?
0.333333...
=0.3+0.03+0.003+...
=3/10+3/100+3/1000+...

Je pose f(X)=3X+3X²+3X^3+...
on voit bien que l'on a 3f(x)=9x+9x²+...
et f(0.1)=1/3
3*f(0.1)=3/3=1
et ce n'est pas un tour de passe passe foireux:
f(X) existe bien pour tout x tel que |x|<1, et on peut multiplier f par 3, ce qui revient à multiplier chacun des termes par 3.

Ce n'est donc pas juste une image, en fait, on peut multiplier ici, chacun des termes par 3, parce qu'aucun des termes d apparaissant dans les décimales vérifie 3*d>9.