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Des maths, des vrais



  1. #1
    systemecrach

    Des maths, des vrais


    ------

    Problème :

    Partie A :


    On considère la fonction f définie sur R par f(x)=1/2(x+(1-x)e^2x).
    On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,i,j)
    (unité graphique 2 cm).
    1)a) Déterminer les limites de f en – infini et + infini.
    b) Montrer que la droite Z d’équation y=x/2 est asymptote à C.
    Etudier la position de C par rapport à Z.
    2) Montrer que f est dérivable sur R et calculer f’(x).
    3) Soit u la fonction définie sur R par u(x)=1+(1-2x)e^2x.
    a) Etudier le sens de variation de u.
    b) Montrer que l’équation u(x)=0 possède une solution unique W dans l’intervalle [0 ;1].
    Déterminer une valeur décimale approchée par excès de W à 10^-2 près.
    c) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
    4) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.


    Partie B :


    Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,i,j), on considère la courbe J d’équation y=e^x et la droite D d’équation y=x. Les courbes J et D sont à faire sur la feuille annexe.
    Soit t un réel ; on désigne par Mt le point de J d’abscisse t.
    La tangente à J au point Mt coupe l’axe des ordonnées au point Nt.
    Déterminer les coordonnées du point Nt.

    On désigne par Pt le point de D d’abscisse t et par Gt l’isobarycentre des points O, Mt, Pt et Nt. Le point Gt est donc le barycentre des points pondérés (0 ;1) (Mt ;1) (Pt ;1) et (Nt ;1).
    a) Placer les points M-2, P-2 et N-2 puis construire, en justifiant, le point G-2 sur la feuille annexe.
    b) Déterminer en fonction de t les coordonnées du point Gt.

    Quel est l’ensemble des points Gt, quand t décrit R ?

    ATTENTION pour M-2 etc … le -2 est en indice pareil pour le Pt etc le t est en indice…. (Problème de traitement de texte…)

    Partie C


    1) construire la courbe C de la partie A sur la feuille annexe.
    2) Calculer l’aire A, en cm², du domaine plan délimité par la courbe C, la droite Z et les droites d’équations x=0 et x=1 ( on pourra utiliser une intégration des parties).



    Exercice :

    On se propose d’étudier les fonctions f dérivables sur [0 ; + infini[ vérifiant la condition :
    (1) pour tout X € [0 ;+infini[, f(X)f ’(X)=1
    et f(0)=1


    Partie A :


    On suppose qu’il existe une fonction f qui vérifie (1).
    La méthode d’Euler permet de construire une suite de points (Mn) proches de la courbe représentative de la fonction f. On choisit le pas h=0,1.
    On admet que les coordonnées (Xn, Yn) des points Mn obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient :
    Xo=0 et Xn+1 = Xn + 0.1
    Yo=1 Yn+1 = Yn + 0.1/Yn pour tout entier naturel n.

    Calculer les coordonnées des points M1, M2, M3, M4, M5 (on arrondira au millième les valeurs trouvées).


    Partie B :


    On se propose de démontrer qu’une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [0 ;+infini[.

    1) Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s’annule pas sur [0 ;+infini[.
    2) On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu’il existe un réel Q strictement positif tel que f(Q)<0.
    En déduire que l’équation f(X)=0 admet au moins une solution dans l’intervalle [ 0;Q].
    3) Conclure.


    Partie C :


    Existence et unicité de la fonction f.

    1) Soit u une fonction dérivable sur l’intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu’ sur cet intervalle.
    2) En déduire que si f est telle que,
    Pour tout X € [0 ;+infini[, f(X)f ’(X)=1
    Alors il existe une constante C telle que :
    Pour tout X € [0 ;+infini[, (f(X))²= 2X+C.
    3) On rappelle que f(0)=1. Déterminer l’expression de f(X) pour X réel positif.
    4) En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0,1) ; f(0,2) ; f(0,3) ; f(0,4) ; f(0,5), puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d’Euler.


    Aidez moi svp car la je suis perdu dans la cambrousse

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  3. #2
    R is R

    Re : Des maths, des vrais

    Dit nous ce que tu as fait, ou tu est perdu et on te dira comment retrouver ton chemin

  4. #3
    systemecrach

    Re : Des maths, des vrais

    Ba je suis perdu dès le début

  5. #4
    R is R

    Re : Des maths, des vrais

    Tu n'arrive pas a faire les limites ou tu ne sais pas comment les faire?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    systemecrach

    Re : Des maths, des vrais

    Non en faite c'est plutot la partie B et la C

  8. #6
    shokin

    Re : Des maths, des vrais

    Pour trouver la tangente à une fonction en un point :

    soit la fonction f(x)

    soit un point de cette fonction P(paf;pouf) [pouf=f(paf)]

    pour calculer la pente en ce point, tu calcules f'(paf) qui est la pente en P, donc également la pente de la tangente.

    L'équation d'une droite dans le plan est de type ax+by+c=0.

    Connaissant paf et pouf (x et y dans cette équation) ainsi que la pente égale à -a/b, tu connais donc a et b. Connaissant, a, x, b et y, tu connaîtras donc c.

    Une fois a, b et c trouvés, tu reprends les lettres x et y et tu as l'équation de la tangente en P.

    si f(x)=e^x, f'(x)=e^x ; si f(x)=ax^n, f'(x)=nax^(n-1)



    Sachant que Gt(g1;g2) est barycentre de {(A1;a1);...;(An;an)}, les coordonnées x de g1 seront égales à la moyenne pondérée (par les ai) des coordonnée x des Ai, idem pour les coordonnées y.

    En l'occurence, si tous les ai sont égaux, le barycentre est le centre de gravité des points.

    Tu connais tes points en fonction de t, donc également le barycentre en fonction de t.



    Pour calculer l'aire entre deux courbes qui se croisent deux fois. Tu cherches d'abord les points d'intersections de ces deux courbes (pin;pon) et (pif;paf), pin et pif sont alors les bornes. Ensuite tu feras une différences d'intégrales. (Attention si les fonctions croisent l'axe des x, tu dois chercher les intersections avec celui-ci.)

    Dans ton exercices, tu as déjà les bornes 0 et 1 décidées.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  10. #7
    systemecrach

    Re : Des maths, des vrais

    Merci c'est cool

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