Problème :
Partie A :
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=1/2(x+(1-x)e^2x).
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,i,j)
(unité graphique 2 cm).
1)a) Déterminer les limites de f en – infini et + infini.
b) Montrer que la droite Z d’équation y=x/2 est asymptote à C.
Etudier la position de C par rapport à Z.
2) Montrer que f est dérivable sur R et calculer f’(x).
3) Soit u la fonction définie sur R par u(x)=1+(1-2x)e^2x.
a) Etudier le sens de variation de u.
b) Montrer que l’équation u(x)=0 possède une solution unique W dans l’intervalle [0 ;1].
Déterminer une valeur décimale approchée par excès de W à 10^-2 près.
c) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
4) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
Partie B :
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,i,j), on considère la courbe J d’équation y=e^x et la droite D d’équation y=x. Les courbes J et D sont à faire sur la feuille annexe.
Soit t un réel ; on désigne par Mt le point de J d’abscisse t.
La tangente à J au point Mt coupe l’axe des ordonnées au point Nt.
Déterminer les coordonnées du point Nt.
On désigne par Pt le point de D d’abscisse t et par Gt l’isobarycentre des points O, Mt, Pt et Nt. Le point Gt est donc le barycentre des points pondérés (0 ;1) (Mt ;1) (Pt ;1) et (Nt ;1).
a) Placer les points M-2, P-2 et N-2 puis construire, en justifiant, le point G-2 sur la feuille annexe.
b) Déterminer en fonction de t les coordonnées du point Gt.
Quel est l’ensemble des points Gt, quand t décrit R ?
ATTENTION pour M-2 etc … le -2 est en indice pareil pour le Pt etc le t est en indice…. (Problème de traitement de texte…)
Partie C
1) construire la courbe C de la partie A sur la feuille annexe.
2) Calculer l’aire A, en cm², du domaine plan délimité par la courbe C, la droite Z et les droites d’équations x=0 et x=1 ( on pourra utiliser une intégration des parties).
Exercice :
On se propose d’étudier les fonctions f dérivables sur [0 ; + infini[ vérifiant la condition :
(1) pour tout X € [0 ;+infini[, f(X)f ’(X)=1
et f(0)=1
Partie A :
On suppose qu’il existe une fonction f qui vérifie (1).
La méthode d’Euler permet de construire une suite de points (Mn) proches de la courbe représentative de la fonction f. On choisit le pas h=0,1.
On admet que les coordonnées (Xn, Yn) des points Mn obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient :
Xo=0 et Xn+1 = Xn + 0.1
Yo=1 Yn+1 = Yn + 0.1/Yn pour tout entier naturel n.
Calculer les coordonnées des points M1, M2, M3, M4, M5 (on arrondira au millième les valeurs trouvées).
Partie B :
On se propose de démontrer qu’une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [0 ;+infini[.
1) Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s’annule pas sur [0 ;+infini[.
2) On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu’il existe un réel Q strictement positif tel que f(Q)<0.
En déduire que l’équation f(X)=0 admet au moins une solution dans l’intervalle [ 0;Q].
3) Conclure.
Partie C :
Existence et unicité de la fonction f.
1) Soit u une fonction dérivable sur l’intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu’ sur cet intervalle.
2) En déduire que si f est telle que,
Pour tout X € [0 ;+infini[, f(X)f ’(X)=1
Alors il existe une constante C telle que :
Pour tout X € [0 ;+infini[, (f(X))²= 2X+C.
3) On rappelle que f(0)=1. Déterminer l’expression de f(X) pour X réel positif.
4) En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0,1) ; f(0,2) ; f(0,3) ; f(0,4) ; f(0,5), puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d’Euler.
Aidez moi svp car la je suis perdu dans la cambrousse
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