Sous groupes de Sylow et passage au quotient

[g_h]

Bonsoir,


J'ai un groupe d'ordre 5²*7*29, et je viens de montrer qu'il admettait un unique 5-Sylow (donc distingué).

On me demande de montrer qu'il admet un sous groupe distingué d'ordre 5²*29, et je me posais de petites questions:

Si je regarde le quotient G/P (d'ordre 7*29), il admet un unique 29-Sylow, qui peut donc s'écrire H/P.

Puisque que H/P est distingué dans G/P, on peut écrire le quotient (G/P)/(H/P), et là, j'ai très envie d'invoquer le 3ème théorème d'isomorphisme, mais il me manque un fait essentiel : le fait que H est distingué dans G !

Car si H est distingué, j'ai du coup G/H groupe d'ordre 7, donc H distingué d'ordre 5²*29.

En fait, le but de ma question est, en général, comment montrer que si Q/R est distingué dans G/R, alors Q distingué dans G ? Il me semble que c'est un vrai résultat, mais je m'emmêle les pinceaux à essayer de le montrer...


(Et pour en revenir à l'exercice, si mon groupe d'ordre 5²*29 est distingué, j'ai donc en simple corollaire qu'il existe un unique 29-Sylow dans G ?)

Merci !
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[g_h]

Ah, j'oubliais, si vous voyez d'autres manières de procéder, allez y, ça m'intéresse grandement !

[invite57a1e779]

Bonsoir,En fait, le but de ma question est, en général, comment montrer que si Q/R est distingué dans G/R, alors Q distingué dans G ? Il me semble que c'est un vrai résultat, mais je m'emmêle les pinceaux à essayer de le montrer...

On considère les morphismes canoniques de passage au quotient : .

On a , donc est distingué dans G.

[g_h]

Merci, c'est limpide comme ça... honte à moi

Une autre question, même si elle n'est pas en total rapport avec la précédente (mais je n'ai pas envie de flooder le forum!), il y a autre chose qui me chiffonne:

But : montrer qu'un sous groupe H d'indice p (d'un groupe fini G) est forcément distingué dans G, lorsque p est le plus petit premier divisant l'ordre de G.

L'idée est donc de considérer l'action de G sur les classes modulo H par translations. Soit le morphisme associé à l'action.

A priori, je me dis : si x est dans H, alors xH = H donc x est dans le noyau de l'action .

Or, si j'écris les choses :

On a alors
Ce qui implique (ça ne m'a pas l'air d'être une équivalence)


Or, on ne sait pas encore que H est distingué, donc on est un peu coincés.

Donc ma question est : comment retrouver le fait que H est dans le noyau de l'action simplement en regardant ?
Ca paraît crétin, mais... ça ne l'est pas pour moi :/

2ème question : si on trouve que H est dans le noyau, on a alors :
par ce qui précède
Or, l'inclusion réciproque est évidente, du coup, on a montré l'égalité... ! Or, si H est égal à l'intersection de ses conjugués, alors clairement H est distingué... ! Et basta, j'ai prouvé l'exercice sans avoir utilisé le fait que p est le plus petit premier divisant l'ordre de G.
Par conséquent, mon raisonnement est faux, mais je ne vois pas ou... !


Merci pour toute aide que vous pourrez m'apporter !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

A priori, je me dis : si x est dans H, alors xH = H donc x est dans le noyau de l'action .

Cette conclusion me paraît hâtive. Savoir que ne fournit pas grand renseignement quant à .

Je reprends autrement :
– l'ensemble des classes est de cardinal ;
– l'ensemble des bijections de dans lui-même est de cardinal ;
– tu définis un morphisme de dans .

Tu as donc
– ;
– est un sous-groupe de .

Ainsi divise
– dont tous les facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à ;
– dont tous les facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à

Finalement divise , et on a l'alternative :
– , donc ;
– , donc .

Passons à l'étude du noyau :



et tu as bien : le noyau est l'intersection des conjugués de .

En particulier (et non l'inclusion dans l'autre sens), donc

Vu l'alternative précédente, on conclut à donc qui est un sous-groupe distingué.

Me trompé-je ?

[g_h]

Salut,

Je te remercie grandement pour ton aide, tout est très clair maintenant !