Petit problème sur la recherche d'un PGCD

[invite23e9ad8d]

bonjour à tous
voilà j'ai un exercice à faire sur la recherche du PGCD de ces deux polynômes:
A(X)= X⁵ -X⁴ - 2X³ - X² + X +2
et B(X) = X⁵ + X⁴ - 2X³ - X² -X + 2
le problème est qu'après avoir utilisé l'algorithme d'Euclide je touve un PGCD de 2 alors que ce devrait être un polynôme unitaire.

voici mon développement:

X⁵ -X⁴ - 2X³ + - X²+ X +2 = (X⁵ + X⁴ - 2X³ - X² -X + 2) x 1 +(-2X⁴ + 2X)

X⁵ + X⁴ - 2X³ - X² -X + 2 = (-2X⁴ + 2X) x (-1/2X-1/2) + (-2X³ + 2)

(-2X⁴ + 2X) = (-2X³ + 2) x (-X) + 4X

(-2X³ + 2) = 4X x (-1/2X²) + 2

4X = 2X x 2 + 0

d'où le PGCD est égale à 2.
Il y a t'il une erreur?
je vous remercie d'avance pour votre aide.
-----

[Médiat]

(-2X⁴ + 2X) = (-2X³ + 2) x (-X) + 4X
Il y a t'il une erreur?

Oui, une erreur de signe ci-dessus (donc de reste)

[invite23e9ad8d]

A mince c'est vrai oups pour le signe:
on a donc : (-2X⁴+ 2X) = (-2X³ + 2) x (X)+0
mais donc on a un PGCD égal à: (-2X³ + 2) non? et donc là il y a un problème car il n'est pas unitaire.

[Médiat]

A mince c'est vrai oups pour le signe:
on a donc : (-2X⁴+ 2X) = (-2X³ + 2) x (X)+0
mais donc on a un PGCD égal à: (-2X³ + 2) non? et donc là il y a un problème car il n'est pas unitaire.

Tu peux toujours multiplier un polynome à coefficient réels par une constante non nulle sans changer grand-chose en particulier la divisibilité, le polynome unitaire qui va bien est donc (X³ - 1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23e9ad8d]

ah d'accord ben merci beaucoup pour ton aide!

Par contre maintenant j'ai un deuxième problème mais de factorisation de polynôme dans les réels et les complexes.

on a: B(X) = X⁷ + 3X⁶ + 6X⁵ + 6X⁴ + X³ - 5X² - 8X - 4

pour l'instant j'ai trouvé comme factorisation:
B(X) = (X - 1)(X + 1)(X - 1)(X⁴ +2X³ + 5X² + 4X + 4)

Mais comment factoriser ce polynôme de degrés 4 sachant que je ne lui ai trouvé aucune racine évidente?

PS: on a pas encore vu la recherche de discriminant pour des polynomes de degrés supérieur à 2

[invite23e9ad8d]

s'il vous plait je n'y arrive toujours pas. j'essaye par identification avec (aX²+bX+c)(dX²+eX+f)=X⁴+2X³+5X²+4X+4 mais le système est impossible à résoudre... je trouve:

ad = 1 donc a = 1 et d = 1
d'où on a en système:
ad = 1
e + b = 2
af + be + cd = 5
bf + ce = 4
cf = 4

on a e, b, f, et c comme inconnues.
système 4-4 mais on se trouve avec des inconnues au carré dans la résolution.

[invite57a1e779]

[invite23e9ad8d]

merci beaucoup pour ta réponse! mais tu a utilisé quelle méthode? le système???ou c'était une mauvaise méthode pour un tel polynôme?

[invite57a1e779]

J'ai calculé afin d'utiliser la méthode de Ferrari, et je me suis aperçu que était nul pour ... la méthode de Ferrari devenait inutile.