Un petit probleme de pgcd

[invitec9d83f1c]

Bonjour,
j'aimerais poster ici un petit probleme que j'ai trouver dernierrement, presque par hasard et que je n'arive pas a résoudre.

donc soit a₁ ,a₂, b et c des entiers (naturels).

soit * l'operation de concaténation de deux entiers (pour les famillier on l'utilise en générale en logique ex: demo des th d'incompletudes),
par exemple:

889*7*3387= 88973387

donc voila, maintenant je défini une suite:

u(n) = pgcd(a₁*(bⁿ)*a₂ ,c)

ou evidement bⁿ = b*b*....n fois.

ce que j'ai remarqué, c'est que cette suite est toujours periodique...
si quelqu'un est d'humeur a m'expliquer ou m'aider a comprendre pourquoi elle est peridoique ca pourrait m'enlever un poid merci d'avance
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[indian58]

Ecris les choses....

[invitec9d83f1c]

Ecris les choses....

... heu ba on peut ecrire:
l = longueure de b
m = longueure de a₂

u_n = a₂ + (b . 10^(k*l)+m)+ a₁ . 10^((n-1)*l)+m

mais peut être que je passe a coté de quelque chose d'évident mais je vois toujours pas comment expliqué la période...

[invitec9d83f1c]

Alors?.... personne n'a d'autres idées pour m'aider dans mon désespoire...
que de solitude....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f0362b8]

pgcd(a1*b^(n+1)*a2,c) = pgcd(a1*b^n*a2,c) * pgcd(b,c)


u(n+1) = U(n) * pgcd(b,c)


oops..
Oubliez, j'ai pas vu l'operateur .... uniquement valable pour x (multiplication)

[invité576543]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, c'est lié à l'existence d'un entier z tel que 10^zl-1 soit un multiple de c(10^l-1). En notant l la longueur de b...

En effet, z crans additionnels ajoutent d'une part un terme multiple de b et de 1+10^l+10^2l + ... + 10^(z-1)l, qui est égal à (10^zl-1)/(10^l-1)

et d'autre part un terme multiple de a1 et de 10^zl-1

Cela établit que modulo c l'expression est cyclique, d'où le résultat puisque le pccd de u_n et c est égal au pgcd de (u_n modulo c) et c...

L'existence de l'entier z doit pouvoir s'étudier, en partant du petit théorème de Fermat...

C'est juste une piste, mais ça a des chances d'aboutir...

Cordialement,

[invitec9d83f1c]

Merci beaucoup je vais me lancer la dedant