Petit souci de spé maths divisibilité pgcd
bonsoir !
voila alors j'ai un petit exercice de spécialité où je bloque:
Soit a et b deux entiers naturels.
pgcd(ab,195)= 1
Montrer que a^12-b^12 est divisible par 195.
J'ai commencé par dire que ab et 195 étaient premiers entre eux (forcément). Puis après c'est le vide..
D'un autre côté; a^12-b^12 divisible par 195 <=> a^12-b^12 congru à 0[195] <=> a^12 congru à b^12 [195].
Donc voila si quelqu'un a une petite piste celle ci sera la bienvenue ! Merci d'avance !
Hello
Décompose 195 en facteurs premiers et prouve queest divisible par tout ces facteurs, en utilisant le théorème de Fermat entre autres.
Bonsoir,
La preuve qui me vient à l'esprit demande deux outils dont je ne suis pas sûr que tu disposes. L'un est le théorème de Fermat et l'autre le principe des restes chinois.
Si tu connais ces outils, que penses-tu des facteurs premiers de 195?
Cordialement,
EDIT: Collision, mais messages convergents...
Merci pour vos réponses. oui en effet nous avons étudié le petit théorème de Fermat mais pas celui des restes chinois. Donc bubulle_01, j'ai appliqué tes conseils mais je ne me suis pas servie de la décomposition en facteurs premiers de 195 j'ai mis:
a^12=a^(13-1). Or 13 est un nombre premier et a n'est pas divisible par 195 (çà je n'en suis pas très sure) donc d'apres le petit théorème de Fermat, a^12congru à 1[195].
De meme pour b ...
d'ou a^12-b^12congru à 1-1[195] congru à 0 donc a^12-b^12 divisible par 195
Argh non !
Le théorème de Fermat dit que pour un entier naturel a et un premier p, premiers entre eux, on a :
ah mincee oui c'est vrai !! ^^
donc a^12-b^12congru à 0 [13]... peut on conclure directement apres ?
Merci ! !
Tu viens de prouver que ton nombre est divisible par 13, et non par 195.
Décompose 195, tu verras tout de suite ce qu'il te reste à faire
