Bonjour,
Alors voici dans un premier temps mon exercice :
"On se place ds le groupe de permutation Sn. On rappelle que Sn est engendré par ses transpositions.
a/Démontrer que tte transposition (a b) de Sn est un produit de transpositions de la forme (i,i+1) avec i compris entre 1 et n-1.
En déduire que Sn est engendré par les par les transpositions de la forme (i,i+1)
b/Démontrer que tte transposition (i,i+1) de Sn est un produit de transpositions de la forme (1,j) avec j compris entre 1 et n.
En déduire que Sn est engendré par les par les transpositions de la forme (1,i)
c/On pose t=(12) et c=(12...n).Calculer cktc-k
En déduire que Sn est engendré par t et c.
d/Résoudre l'énigme des wagons :
«On considère des wagons numérotés de 1 à n,placés en file indienne ds un garage. Les wagons se déplacent évidemment sur des rails. On peut faire circuler les wagons ds les 2 sens de la voie et les placer ds le garage à tt moment. On peut les attacher et détacher à tt endroit sur la voie,y compris ds le garage. Bien entendu,les wagons ne peuvent pas sauter les uns au-dessus des autres.
Le chef de gare désire réordonner les wagons ds un ordre qui lui convient. Est-ce tjs possible? Si oui,indiquer une méthode ; sinon, donner un exemple.»
Ds un 2eme tps voici mes réponses aux questions b/ , a/, puis c/ sur lesquelles j'aurais aimé avoir votre avis :
«b/ x≠y ,x et y inclus ds [2,n]
soit u inclus ds [1,n] \ {1,x,y}, alors u est invariant par (1,x).(1,y).(1,x).Intéressons nous dc à {1,x,y}.
(1,x) (1,y) (1,x)
1――→2――→x――→1
x――→1――→y――→y
y――→y――→1――→x
=> (x,y)=(1,x).(1,y).(1,x)
=>tte transposition de Sn se décompose en produit de la forme (1,j) 1 ≤ j ≤ n (*)
=>tte transposition (i,i+1) de Sn est un produit de transpositions de la forme (1,j) avec j compris entre 1 et n.
et (*)=>Sn est engendré par les par les transpositions de la forme (1,i)
a/ D'après b,il suffit de montrer que tte transposition (1,i) 2≤ i ≤ n est un produit de transposition (k,k+1), pr 1 ≤ k ≤n-1
Par récurrence sur i :
Initialisation : i=2 =>(1,i)=(1,2) de la forme (k,k+1) avec k =1
Hérédité : Si (1,i), pr 2≤ i ≤ n est un produit de transposition (k,k+1), pr 1 ≤ k ≤n-1,alors qu'en est-il pour (1,i+1)?
(1,i+1)=(i,i+1).(1,i).(i,i+1)
or par hyp de rec.,(1,i) est produit de transposition de la forme (k,k+1)
=> la propriété est vraie au rang i+1
ccl : la propriété est vraie pr tt i 2≤ i ≤ n
c/ t=(1,2) c=(1,2,...,n)
Par récurrence sur k montrons que cktc-k=(k+1,k+2)
Initialisation : c.t.c-1 = (2,3)
Hérédité : Si cktc-k=(k+1,k+2),alors qu'en est-il pour ck+1tc-k-1?
ck+1tc-k-1=c.(k+1,k+2).c-1=(k+2,k+3)
La propriété est vraie => c et t engendre tte transposition (k,k+1) qui engendre elle même Sn (a/)
=>c et t engendre Sn
Et ds un dernier tps, j'aurais besoin de vous pour résoudre l'énigme....
Merci de votre collaboration
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J'ai l'impression que vous êtes impressionés par l'énoncé de ma question, pourtant c pas si compliqué...Je veux juste que l'on verifie mes 4 réponses et que l'on m'aide pour la derniere sur laquelle je n'ai pas d'idée.