[Algèbre] Différence entre endomorphisme induit et restriction

[invite171486f9]

bonsoir,
j'ai du mal à connaître les définitions exactes d'endomorphisme induit et restriction. Après passage sur wiki, je vois qu'un endomorphisme u|F est induit par F si l'image de chaque élément de F est dans F. Quel est alors le rapport entre cet endomorphisme u|F et une restriction ? Peut-on dire que u|F est une restriction de u ?

Merci d'avance de votre aide
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[invite57a1e779]

On se place dans le cadre suivant :
– est un espace vectoriel ;
– est un endomorphisme de , c'est-à-dire un élément de ;
– est un sous-espace vectoriel de .

On peut toujours définir une application sur , à valeurs dans , par : cette application est la restriction de à , je la note , c'est un élément de .

Si on a la chance que soit stable par , alors on peut définir une application sur , à valeurs dans , et non plus dans , par : cette application est l'endomorphisme induit par sur , je la note , c'est un élément de .

On voit que l'endomorphisme , sa restriction à (définie pour tout ), et l'endomorphisme induit sur (défini pour stable seulement) sont trois objets différents : deux de ces applications linéaires n'ont jamais le même espace de départ et le même espace d'arrivée.

Si l'on travaille en dimension finie, avec de dimension et de dimension , alors la différence apparaît sur la taille des matrices qui représentent les applications linéaires considérées :
– l'endomorphisme est défini de dans , donc représentée par des matrices à lignes et colonnes ;
– la restriction est définie de dans , donc représentée par des matrices à lignes et colonnes ;
– l'endomorphisme induit est défini de dans , donc représentée par des matrices à lignes et colonnes.

[invite171486f9]

D'accord, je vois maintenant !
merci beaucoup de ton explication claire et détaillée