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DL et equation différentielle



  1. #1
    jeromiodu59

    DL et equation différentielle


    ------

    bonjour !
    f''(x)-2xf'(x)-2f(x)=0
    f(0)=1
    f'(0)=0
    j'ai montré que pour tout n, f admet un DL a l'ordre n en 0 donc f(x)=a0+a1x+a2x²...+o(xn)

    donc f'(x)=b0+b1x+b²x+o(xn-1 pour k compris en 0 et n-1

    je dois donner le lien entre ak et bk et entre ck et ak et je dois montrer que f'(x) est un DLn-1(0)
    suffit-il de faire une récurrence utlisant le fait que f est n fois dérivable et f(n)continue en 0 et que f''(x)-2xf'(x)-2f(x)=0 ?
    merci

    -----

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  4. #2
    God's Breath

    Re : DL et equation différentielle

    Il suffit de reporter les développements limités de , et dans l'équation différentielle pour trouver une relation entre leurs coefficients.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #3
    jeromiodu59

    Re : DL et equation différentielle

    oui j'avais pensé à ça mais trouver le lien entre ak et bk est une question séparé de celle ou il faut trouver le lien entre ak et ck donc je ne peux pas faire cette démarche ?

  6. #4
    God's Breath

    Re : DL et equation différentielle

    Si et admettent des développements limités, on obtient celui de en dérivant celui de ...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    jeromiodu59

    Re : DL et equation différentielle

    merci
    comment puis je prouver que f' admet un DL à l'ordre n-1 en 0 sachant que f admet un DL a l'ordre n en 0 et que f(n)(0) continue cela est il suffisant pour dire que f' est Cinfini

  9. #6
    God's Breath

    Re : DL et equation différentielle

    est de classe parce qu'elle est solution d'une équation différentielle, donc toutes ses dérivées sont également de classe et admettent des développements limités, au voisinage de tout point, et à tout ordre.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  11. #7
    jeromiodu59

    Re : DL et equation différentielle

    merci
    je suis parvenu a répondre a quelques autres questions mais là je bloque sur : montrer que pour tout k appartenant à {0,1,...,n-2}, (k+2)ak+2=2ak en utilisant que f vérifie l'équation différentielle

  12. #8
    jeromiodu59

    Re : DL et equation différentielle

    j'ai trouvé que ck=ak+2*k*(k-1) et bk=ak+1*k
    si f'' -2xf'-2f=0 alors ck-2kbk-2ak=0 ?
    si oui, peut on à l'aide de ça à montrer que ak+2*(k+2)=2ak

    merci !

  13. #9
    krikor

    Re : DL et equation différentielle

    Bonsoir

    f''(x)=2[x*f'(x)+f(x)]=2[x*f(x)]'

    f'(x)=2*x*f(x)+c

    le reste...

  14. #10
    jeromiodu59

    Re : DL et equation différentielle

    je trouve ton idée bonne mais je ne vois pas c'est quoi le reste ? Comment ajouter les ak ?

  15. #11
    God's Breath

    Re : DL et equation différentielle

    Quand tu annules le terme en du développement limité de , tu obtiens .

    Comme et , tu as donc , soit .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  16. #12
    jeromiodu59

    Re : DL et equation différentielle

    merci pour ton aide ! A bientot

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  18. #13
    krikor

    Re : DL et equation différentielle

    L'idée était de simplifier l'equation différéntielle, pour le réste j'ai rien trouvé.

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