DL et equation différentielle

[invite4a1f48b0]

bonjour !
f''(x)-2xf'(x)-2f(x)=0
f(0)=1
f'(0)=0
j'ai montré que pour tout n, f admet un DL a l'ordre n en 0 donc f(x)=a0+a1x+a2x²...+o(xn)

donc f'(x)=b0+b1x+b²x+o(xn-1 pour k compris en 0 et n-1

je dois donner le lien entre ak et bk et entre ck et ak et je dois montrer que f'(x) est un DLn-1(0)
suffit-il de faire une récurrence utlisant le fait que f est n fois dérivable et f(n)continue en 0 et que f''(x)-2xf'(x)-2f(x)=0 ?
merci
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[God's Breath]

Il suffit de reporter les développements limités de , et dans l'équation différentielle pour trouver une relation entre leurs coefficients.

[invite4a1f48b0]

oui j'avais pensé à ça mais trouver le lien entre ak et bk est une question séparé de celle ou il faut trouver le lien entre ak et ck donc je ne peux pas faire cette démarche ?

[God's Breath]

Si et admettent des développements limités, on obtient celui de en dérivant celui de ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4a1f48b0]

merci
comment puis je prouver que f' admet un DL à l'ordre n-1 en 0 sachant que f admet un DL a l'ordre n en 0 et que f⁽ⁿ⁾(0) continue cela est il suffisant pour dire que f' est C^infini

[God's Breath]

est de classe parce qu'elle est solution d'une équation différentielle, donc toutes ses dérivées sont également de classe et admettent des développements limités, au voisinage de tout point, et à tout ordre.

[invite4a1f48b0]

merci
je suis parvenu a répondre a quelques autres questions mais là je bloque sur : montrer que pour tout k appartenant à {0,1,...,n-2}, (k+2)a_k+2=2a_k en utilisant que f vérifie l'équation différentielle

[invite4a1f48b0]

j'ai trouvé que c_k=a_k+2*k*(k-1) et b_k=a_k+1*k
si f'' -2xf'-2f=0 alors c_k-2kb_k-2a_k=0 ?
si oui, peut on à l'aide de ça à montrer que a_k+2*(k+2)=2a_k

merci !

[krikor]

Bonsoir

f''(x)=2[x*f'(x)+f(x)]=2[x*f(x)]'

f'(x)=2*x*f(x)+c

le reste...

[invite4a1f48b0]

je trouve ton idée bonne mais je ne vois pas c'est quoi le reste ? Comment ajouter les a_k ?

[God's Breath]

Quand tu annules le terme en du développement limité de , tu obtiens .

Comme et , tu as donc , soit .

[invite4a1f48b0]

merci pour ton aide ! A bientot

[krikor]

L'idée était de simplifier l'equation différéntielle, pour le réste j'ai rien trouvé.