Transversalité (Intersections transverses)

[invitec949b6ed]

Bonjour,

Je retranscris la définition présente sur Wikipédia pour plus de clarté:

"Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont dits transverses quand F + G = E. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

Je n'ai pas trouvé de réponse directe à ma question après recherche, je la pose donc ici:

Est-ce que cette relation codimensionnelle peut se généraliser de la même manière à plusieurs sous-espaces vectoriels de E, par exemple F, G, I ? La somme des codimensions individuelles donnant la codimension de la cointersection des trois sous-espaces vectoriels ?
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[invited749d0b6]

si F+G+H=E
dim(E)=dim(F)+dim(G)+dim(H)-dim(F inter G)-dim(F inter H)-dim(G inter H)+dim(F inter G inter H)
donc
codim(F)+codim(G)+codim(H)+cod im(F inter G inter H)=codim(F inter G)+ codim(F inter H) +codim(G inter H)

[invitec949b6ed]

Merci G13, il m'a fallu visualiser par un schéma pour le voir, mais maintenant c'est beaucoup plus clair.

[invited749d0b6]

Je crois que je t'ai dit n'importe quoi:
Dans R^3, si F=Vect(ex,ey), G=Vect(ey+ez), H=Vect(ey-ez), la formule ne semble pas marcher.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec949b6ed]

d'un point de vue ensembliste ça tient pourtant ...

Dans le cas d'intersections transverses, les codimensions s'ajoutent exactement (selon le wikipedia anglais)

[invite57a1e779]

d'un point de vue ensembliste ça tient pourtant ...

Je ne vois pas le rapport...

Si , alors , et je ne vois pas bien ce que l'on peut faire de .

[invitec949b6ed]

Non, ce que je dis c'est que d'un point de vue ensembliste:

A deux ensembles:

si E = F ∪ G

E = F + G - (F ∩ G)

Alors par transposition, 0 = codim F + codim G - codim(F ∩ G)
et on retrouve la formule plus haut.

A trois ensembles:

si E = F ∪ G ∪ H
on retrouve la formule de G13 en:

E= F + G + H - (F ∩ G) - (F ∩ H) - (G ∩ H) + (F ∩ G ∩ H)

En transposant:

0 = codim F + codim G + codim H - codim (F ∩ G) - codim (F ∩ H) - codim (G ∩ H) + codim (F ∩ G ∩ H)

soit

0 = codim F + codim G + codim H - 2codim F - 2codim G - 2codim H + codim (F ∩ G ∩ H)

D'où la vérification que pour une intersection transverse de plusieurs sous-espaces, les codimensions s'ajoutent exactement:

codim F + codim G + codim H = codim (F ∩ G ∩ H)

[invite57a1e779]

Le problème, c'est que les formules ensemblistes de crible ne se transposent pas comme cela en algèbre linéaire...

[invitec949b6ed]

La concordance est pourtant parfaite...

[invitec949b6ed]

Le problème, c'est que les formules ensemblistes de crible ne se transposent pas comme cela en algèbre linéaire...

Cela doit se résoudre par une généralisation géométrique en considérant des variétés plutôt que des espaces vectoriels.