intersection d´espaces connexes

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai une question de cours que je ne comprend pas: Dans mon bouquin de topologie, il est écrit que l´intersection de deux espaces métriques connexes n´est pas généralement connexe. Cela m´intrigue d´autant plus que le contre-exemple du-dit bouquin me parait bizarre:

Dans IR², les deux fermés suivants:
A₁ = {(x,y) de IR²; x>= 0 et y >= 0}
A₂ = {(x,y) de IR²; -3 -x <= y <= -2 - x}

On voit que A1 et A₂ sont disjoints. Mais il me semblait que par convention, l´ensemble vide est considéré comme connexe!

Me goure-je ou me trompe-je?

Merci d´avance

Christophe
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[invite986312212]

Me goure-je ou me trompe-je?

le produit des deux propositions.

vide ne peut être réunion de deux ouverts disjoints non vides.

[invitee75a2d43]

vide ne peut être réunion de deux ouverts disjoints non vides.

Je ne parle pas d´union mais d´intersection

[invite986312212]

c'était juste pour dire que l'ensemble vide est connexe, pas seulement par convention: il répond à la définition d'un espace connexe. Il est même connexe par arcs, puisqu'on ne peut pas trouver deux éléments de l'ensemble vide qui ne puissent être extrémités d'un arc inclus dans l'ensemble vide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

donc c´est bien ce que je disais, leur contre-exemple est bidon?

[invitea41c27c1]

Il y a une erreur de frappe, prends :



Et là tout devient plus clair !!!!

[invitee75a2d43]

Super, merci, effectivement l´intersection de A1 et A2 n´est alors pas connexe.

L´erreur vient de moi, pas du bouquin