Forme bilinéaire symétrique

[Thorin]

Bonjour,
j'ai un gros doute sur la solution d'un exo.

Voici l'énoncé de l'exo :
Soient et des formes bilinéaires symétriques sur un espace vectoriel E telles que :

Montrer que ou .

Maintenant, la solution que je soumets à votre censure :
soit x appartenant à E.
l'application telle que est une forme linéaire. De même, l'application définie de la même manière est une forme linéaire.

On a alors :

Or, on sait que lorsque l'union de deux sous espaces vectoriels vaut l'espace vectoriel entier, alors, l'un des deux sous espaces est lui même égal à l'espace entier.
Donc, .

Donc,
(avec )
Donc,
Donc, comme Ker f et Ker g sont deux sous espaces vectoriels, par le même argument que précédemment, (Ker f)=E ou (ker g)=E.



Mon gros doute vient du fait qu'on n'utilise pas dans ce raisonnement le fait que les formes soient symétriques.

Si effectivement, ceci est faux, n'hésitez pas à proposer une correction juste de cet exo.

Merci d'avance,
Au revoir.
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[Thorin]

Mon prof a approuvé ma solution, elle était donc bonne, sujet clos.