3 propositions

[inviteea091ca6]

1 Il n'y a qu'un infini
2 L'infini est nécessairement indénombrable
3 Le dénombrable est nécessairement fini

Il y a une veritable question derriere ca? ou c'est juste le plaisir de poster sur le forum?
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[inviteab2b41c6]

Il faudrait déja définir l'infini...

[invite4793db90]

Il faudrait aussi préciser ce que tu veux!

En passant, je suis en désaccord avec la première proposition.

[invitebf65f07b]

apres une petite lecture des idées de Cantor, j'aurais même tendance à etre en désaccord avec l'ensemble des propositions

[A voir en vidéo sur Futura]

[moijdikssékool]

Il y a une veritable question derriere ca? ou c'est juste le plaisir de poster sur le forum?

non, il veut qu'on écrive la suite (4, 5...) afin de décrire l'infini et le fini à l'aide du dénombrable (1,2,3,4...)

[invite772cf17c]

Pour moi, la 1ere proposition ne veut rien dire.

La 2e, et donc la 3e, est fausse :
Soit E un ensemble. S'il est de cardinal infini, il est dénombrable si et seulement si il existe une bijection entre E et N (ensemble des entiers naturels). Si E est de cardinal fini, il est dénombrable. Mais on ne parle d'ensemble dénombrable que pour des ensembles infinis, ca sert à rien de compliquer. Donc bien sûr, N qui en en bijection avec lui même, est dénombrable, Z (ensemble des entiers) est dénombrable, et l'ensemble des inverses des entiers, et donc Q, l'ensemble des rationnels, sont aussi dénombrables. Or tous ces ensembles sont infinis. Donc ces 2 propriétés sont fausses.

Pour synthétiser :
Fini entraîne dénombrable
Dénombrable n'entraîne pas fini (contrexemple : N, Z, Q...)
Infini n'entraîne pas indénombrable (mêmes contrexemples)
Indénombrable entraîne infini

Sinon quelqu'un peut m'expliquer la 1ere proposition ?

Josquin

[invite4793db90]

Pour moi, la 1ere proposition ne veut rien dire.
[...]
Sinon quelqu'un peut m'expliquer la 1ere proposition ?

Cantor a mis en évidence le fait que, par exemple, N et R ne sont pas en bijection. Le cardinal de N est en fait strictement inférieur à celui de R. Il a aussi montré qu'étant donné un ensemble, l'ensemble de ses parties a un cardinal strictement supérieur.

Ainsi, dans sa théorie des nombres transfinis (aleph et compagnie ), il y a plusieurs nombres "infinis".

Cordialement.

[inviteea091ca6]

Il y a une véritable question derrière cela, et c'est d'ailleurs la grosse question.
S'en tenir à l'acquis sous prétexte de sérieux est pour moi un indice de paresse mentale.
On dirait que des gens comme Gödel ou Russell n'ont eu aucune influence sur l'enseignement des mathématiques, et cela est grave.
Chaque mathématicien apporte son lot à l'édifice, mais aucun n'apporte une solution complète.
En ce qui concerne mes 3 propositions, je ne donnerai aucune démonstration sur ce forum. Si des personnes sont intéressées par cette démonstration, qu'elles me le fassent savoir, je leur expédierai (gratuitement) par la voie postale.
Un forum est pour moi un espace de liberté, et la liberté est d'abord la réflexion et l'interrogation.
Avant de dire qu'une chose est fausse, demandons-nous d'abord en quoi elle pourrait être vraie.
L'université n'est pas le seul endroit au monde où les gens remplissent leur tête.
Une simple image :
L'université, c'est N. Le monde, c'est R.

[invitec314d025]

Le seul moyen que tu auras de démontrer tes propositions est de redéfinir fini, infini, dénombrable, indénombrable ...
C'est bien beau de se cacher derrière Gödel, mais on lui fait dire tellement de bétises depuis 1931 que le pauvre doit de retourner dans sa tombe à chaque seconde.

[inviteab2b41c6]

En ce moment c'est à la mode de toujours remettre en cause et d'apporter LA nouvelle théorie..

[invitec314d025]

C'est pas forcément inintéressant d'apporter une vision différente (les géométries non euclidiennes en sont un exemple frappant), mais il ne faut pas perdre de vue que les théories existantes sont cohérentes et qu'il est vain de vouloir les réfuter (mis à part peut-être quelques théories avancées qui s'appuient sur des postulats non encore démontrés).

[invite4793db90]

C'est pas forcément inintéressant d'apporter une vision différente (les géométries non euclidiennes en sont un exemple frappant),

On est d'accord.

(mis à part peut-être quelques théories avancées qui s'appuient sur des postulats non encore démontrés).

Tiens, je suis intéressé! Tu connais des exemples?

NB pour ne pas semer la pagaille: ce n'est pas ironique.

[mode=je chipote] Petite correction: il me semble qu'un postulat est une hypothèse de travail pour les physiciens. En maths, on parle d'axiomes. Mais dans les deux cas, ça ne se démontre pas, bien que l'expérience en physique permette de soutenir ou d'invalider un postulat.

Ceci étant, je rejoins la remarque de Quinto, à ceci près que je ne pense pas que ce soit une mode... Tout le monde veut avoir raison!

Ce qui est agaçant, c'est surtout le ton péremptoire et dénué de remise en question de certains posts. Mais bon, tout le monde a le droit au chapitre.

Cordialement.

[invitec314d025]

Bon, je précise : ni postulat, ni axiome, mais conjecture, ce sera mieux.
Un axiome n'a pas à être prouvé, il doit juste être cohérent avec les autres axiomes du système considéré (ne pas entrainer de contradiction)
Et quand je parle de théorie, c'est peut-être un peu abusif. Disons que quand les conjectures paraissent vraiment crédibles, les mathématiciens peuvent rarement (et ils ont raison) s'empêcher d'en tirer les conséquences éventuelles. On a pas attendu la démonstration du théorème de fermat pour l'utiliser, ni la conjecture de Goldbach, ou Riemann, ou autre.

[invitea77054e9]

Salut Dian,


Tu pourrais m'expliquer ce que tu entends par dénombrabilité?
Parce qu'avec les seules choses qu'on m'a enseigné, un ensemble est dénombrable s'il peut être mis en bijection avec lN (ou une partie de lN?), or lN est lui-même de cardinal infini, je te laisse conclure...

"Selon Cantor, un ensemble E est dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble lN des entiers naturels. Autrement dit, il existe une bijection de lN sur E. C'est encore dire, naïvement, qu'il y a "autant" d'éléments dans E que dans lN et plus précisément, en termes de cardinaux :
Card E = Card N ". définition tirée d'un cours de maths.

S'il s'agit de reconsidérer la notion de dénombrabilité, pourquoi pas!
Mais, puisqu'apparemment tu souhaites débattre, pourquoi une telle démarche? Un éclaircicement de te part serait le bienvenu .


Pour ce qui est de l'unicité de l'infini, là encore j'entrerais en contradiction avec ta proposition.
Ne serait-ce que parce l'on peut différencier l'infini induit par lNU{+oo} de celui induit par lRU{+oo}.
Pourquoi les différencier? Tout simplement parce qu'un élèment d'un ensemble n'a pas nécessairement les même propriétés dans un sur-ensemble!
D'ailleurs si on se donne une autre relation d'ordre totale que <= sur lN ou lR par exemple, on pourra définir un autre infini.

Bref, tu ne précise par assez le contexte qui te permet d'affirmer de telles propositions.

[inviteea091ca6]

Bonjour,

Il ne s'agit pas de refaire la théorie des ensembles, qui est géniale, mais de redéfinir certaines notions, comme, par exemple, celle de " dénombrable infini ".
Sur ce forum, je me contenterai de poser les questions suivantes, en guise de piste :

- Comment peut-on avoir une infinité dénombrable d'infinis indénombrables puisque, par définition, nN = N, nR = R et donc NR = R ?
- Comment un infini indénombrable peut-il être PLUS GRAND qu'un infini indénombrable, puisque, par définition, celui-ci est indénombrable ?
- Et cette infinité N d'infinis indénombrables, avec quoi la remplir ? Avec quels ensembles de nombres (les Alephs s'arrêtent à 2 ...) ?
- Pouvez-vous dénombrer N éléments INFINIMENT ? (attention aux réponses acquises).

Si quelqu'un propose une réponse pertinente à ces 4 questions, je m'inclinerai volontiers devant la " tradition ".
Faire des mathématiques, ce n'est pas seulement appliquer des règles.

Amicalement, Dian

[invitec314d025]

- Comment peut-on avoir une infinité dénombrable d'infinis indénombrables puisque, par définition, nN = N, nR = R et donc NR = R ?

Je ne vois pas le problème, une infinité dénombrable d'infinis indénombrables est un ensemble dénombrable d'ensembles indénombrables. Les éléments sont les ensembles, cela ne veut pas dire qu'une réunion dénombrable d'ensembles indénombrables serait dénombrable ( ce qui serait faux).

[inviteea091ca6]

Tu n'es pas le seul à ne pas voir le problème, c'est cela, le problème.

Amicalement

[invite9c9b9968]

c'est bien simple, tu ne connais pas un théorème fondamental de la théorie des ensembles, théorème dû à Cantor et qui permet, au passage, de considérer des alephs bien plus grand qu'aleph_2 :

"Soit E un ensemble, alors E n'est jamais équipotent à P(E)"

Démonstration : supposons qu'il existe une bijection f de E dans P(E) ; étudions

Cette partie de E admet un antécédant par f (puisque f est en particulier surjective). Soit a cet antécédant.

Alors f(a)= A ; si a est dans A, a n'est pas dans f(a) par définition, donc a n'est pas dans A : contradiction. Mais alors a n'est pas dans A, donc a n'est pas dans f(a), et a est donc dans A.... Encore contradiction !

En conclusion, l'existence de f aboutit à une contradiction dans tous les cas de figures, donc f n'existe pas et E et P(E) ne sont pas équipotents.

Voilà pourquoi il existe des infinis indénombrables plus grands que l'infini indénombrable que constitue IR est qui est celui rencontré le plus souvent dans la pratique.

Il n'y a donc aucun problème à considérer aleph_0, aleph_1 ... aleph_n, ...

Puisque IN, P(IN), P(P(IN)), etc.... existent

[inviteea091ca6]

Je connais très bien ce théorème, lequel extrapole une propriété des ensembles finis aux ensembles infinis, et c'est là que rien ne va plus (tu aurais pu employer une formulation plus simple, car le langage mathématique ne change rien au problème).
Ce théorème interdit qu'il existe un ensemble des ensembles, puisque l'ensemble des parties de cet ensemble est supérieur à l'ensemble producteur, et ceci à l'infini ...
Mais ceci est une propriété du fini, non de l'infini. Cela fonctionne avec l'ensemble N car cet ensemble n'est pas strictement infini (je n'ai pas à en donner la démonstration sur ce forum). C'est pourquoi plus loin j'ai parlé de " fini indénombrable ".
Une propriété de l'infini est que l'ensemble des parties d'un ensemble infini N'EST PAS supérieur à cet ensemble, on aura donc P(R) = R (il est absurde de considérer une liste d'infinis indénombrables plus grands les uns que les autres, d'autant plus que nous sommes incapables de la remplir ...).
On peut avoir N éléments dénombrables (si N est un nombre), P(N) ensembles infiniment dénombrables (ou R), et R ensembles infiniment indénombrables, mais UN SEUL cardinal indénombrable (R), puisque N x R = R (si R est un nombre).
Donc UN SEUL infini. Ou plutôt DEUX formes de l'infini : un " particulaire " et un " ondulatoire ".

N x n = N
N x N = N
P(N) = R ou (N^N)
N x R = R
P(R) = R

PS : " ce qui est logique paraît d'abord complètement illogique ".

[invite9c9b9968]

Dian tu dis n'importe quoi, tu manipules des notions san même les comprendre (un produit cartésien de nombre, sic !) , tu réfutes allégrement un théorème que je viens de démontrer RIGOUREUSEMENT (P(R)=R !!!) tu dis que N n'est pas strictement infini et tu oses en plus nous affirmer que tu n'as pas à en donner la "démonstration" ici : tout ça faire déborder la coupe, et je demande de ce pas à la modération de fermer ce fil

[erik]

Dian,
Si N n'est pas infini, il doit exister un élément de N plus grand que tout les autres, Pourrais tu nous le donner s'il te plait.
Merci
Erik

[invitea29d1598]

Message de la modération :

sauf miraculeux retournement de situation, ce fil est destiné à subir sous peu le même sort que celui nommé "propositions 4 et 5"... nous sommes sur un forum scientifique, et la science repose sur des définitions clairement énoncées dans un langage commun. Pas sur des définitions strictement personnelles ni des pseudo-arguments bidons pour lesquels "aucune démonstration ne sera donnée sur ce forum" (citation approximative).

Pour la modération,
Rincevent

[invite9c9b9968]

Il y a quand même une question à ce propos qui m'est venu à l'esprit : comment définir mathématiquement et rigoureusement ce qu'est un ensemble, et ce qu'est le nombre d'éléments d'un ensemble fini ?

Si je me souviens, en sup on nous dit qu'un ensemble est une "collection d'objets" mais ça n'est pas très rigoureux... Quant à la notion du nombre d'éléments d'un ensemble fini E, je dirais que c'est l'entier naturel n tel que E et [|1 ; n |] soient en bijection, mais là encore je ne suis pas très sûr de la rigueur de la définition (dans le sens "est ce que je ne me mordrais pas la queue par hasard ?" )

Merci d'avance pour vos réponses

[inviteab2b41c6]

Non c'est ca:
un ensemble E est de cardinal n s'il est en bijection avec [1,n]

[inviteea091ca6]

09Jul85, je ne réfute pas le premier théorème de Cantor, qui prouve qu'il n'existe pas de surjection de E sur P(E), je dis seulement que ce théorème ne concerne que les ensembles finis ou finis A L'INFINI, comme l'est l'ensemble des entiers (ou tout ensemble " infiniment dénombrable "), mais PAS les ensembles infiniment indénombrables.
On ne peut mettre sur le même plan N éléments dénombrables et N ensembles infiniment indénombrables. L'échelle est autre, par conséquent la propriété aussi.
Comment peut-on mettre l'infini au pluriel, puisque l'infini est l'expression même du pluriel ?
Je rappelle que d'autres avant moi, beaucoup plus inspirés, ont remis en cause la généralisation du théorème de Cantor aux ensembles infinis supérieurs à Aleph 0.
Et Cantor lui-même.
Citons :
1) le paradoxe de l'ensemble de tous les ensembles
2) le paradoxe de l'ensemble de tous les cardinaux
3) le paradoxe de Russell

N x N n'est pas un produit cartésien mais le produit de N par N (N = ensemble des entiers) !
Je ne dis pas n'importe quoi, je constate simplement que des chose clochent, et j'essaie de me demander pourquoi, au risque d'inventer une autre formulation, maladroite mais plus efficace.
Le problème est que beaucoup de notions sont escamotées dans les programmes, surtout les notions qui stimulent le doute et la réflexion (les plus intéressantes en science, à mon avis).
Notre société actuelle est très uniformisée, très standardisée, les modérateurs de ce site en sont la preuve.
La science ne doit pas tendre à une idéologie, ou alors c'est une nouvelle religion.

Me sentant décidemment trop à l'étroit dans ce forum soi-disant tourné vers le futur, j'ai décidé que ce message serait le dernier.
Salut les gars, peut-être à une autre fois, dans un autre monde.

Amicalement, Dian

[inviteab2b41c6]

Ca veut rien dire ce que tu dis.
Un ensemble infiniment indénombrable?
Cantor prend un ensemble, montre qu'il ne peut jamais être mis en bijection avec l'ensemble de ses parties.
Ou est le dénombrable la dedans?

Ce forum est scientifique, et n'accepte pas les soit disantes théories révolutionnaires qui ne tiennent pas la route.
Pourquoi faut il toujours que chaque semaine quelqu'un remette la science en question.
C'est lassant...

[invite9c9b9968]

laisse tomber Quinto, les gens qui ne comprennent rien aux maths et qui croient connaître la vérité ultime, il y en a plein...

Le théorème que j'ai cité n'utilise nulle part la notion de fini, d'infini, de dénombrable ou d'indénombrable : il est donc vrai en toute généralité (pour chipoter, on peut restreindre en disant qu'il est seulement vrai que dans le cadre de l'axiomatique de la théorie des ensembles )

Enfin, ne mélangeons pas le paradoxe de Russell (les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes je croie) et le paradoxe de Cantor avec le théorème ci-dessus, ce sont juste des paradoxes qui montrent les limites de l'axiomatique de la théorie des ensembles ; or le théorème de cantor est dans cette axiomatique, et n'est donc en rien incompatible avec les paradoxes ci-dessus puisque ces derniers sont en dehors de l'axiomatique...

Enfin bref, un dernier message qui ne sert à rien de toute façon

bonne nuit à tous
merci à toi quinto pour avoir été si patient, je n'en ai pas eu le courage

[inviteeecca5b6]

Je sais pas si tu te souviens Quinto, on avait deja eu le même type de discution stérile avec OneEyeJack... Le mieux (pour pas perdre ton temps) est de dire "oui t'as raison" et il est content

[inviteab2b41c6]

Justement je me demande si ce n'est pas le même.
Le problème est que la science est imparfaite et atteint un nouvel Einstein...
Je pense qu'un modérateur va venir clôre tout ca sous peu...

[invite4793db90]

Donc UN SEUL infini. Ou plutôt DEUX formes de l'infini : un " particulaire " et un " ondulatoire ".

J'l'avais pas lu celle-là!