Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 4 sur 4

Intégration de fractions rationnelles



  1. #1
    Quinto

    Intégration de fractions rationnelles

    Salut,
    en me balladant sur les fora de maths, je suis tombé sur une question d'un élève qui n'arrivait pas à trouver une primitive de fraction rationnelle relativement simple.

    Il suffisait de faire la division euclidienne qui était triviale, puisqu'au dénominateur on avait du x^2.

    Cependant, je me suis mis à chercher une autre solution, le genre de solution que j'aurai cherché si j'avais été à sa place quelques années en arrière, je suis arrivé à ceci:

    On cherche une primitive de f/g où g>0 (sinon on prend -g)

    Je pose alors que cette primitive, notons la P(f/g) est du type u/v.

    on a alors
    (u'v-uv')/v^2=f/g
    et finalement
    u'v-uv'=f
    v=sqrt(g) v'=g'/2sqrt(g)

    ainsi on cherche u telle que
    u'sqrt(g)-ug'/(2sqrt(g))=f
    on divise par sqrt(g) des 2 cotés et on trouve finalement en remettant tout ca dans l'ordre:
    u'=u*g'/2g+f/sqrt(g)

    Ainsi, intégrer cette équation différentielle revient exactement à trouver u, et donc u/v, et finalement à intégrer f/g.

    La solution générale de l'équation homogène est
    uo(x)=ksqrt(g)
    Reste à trouver la solution particulière, notamment avec la méthode de lagrange

    Ainsi, on aurait tout "betement", notre primitive de f/g en utilisant la méthode de variation de la constante.

    Je suis cependant conscient que chercher à intégrer cette équation différentielle n'est pas forcément une chose plus facile, notamment si on fait apparraitre une racine dans l'intégrale, ce que ma formule laisse supposer.
    Mais pourquoi n'a t'on jamais pensé à voir les choses sous cet angle ci?
    Par exemple, toute fonction du type
    f/g^2, où g ne contient pas de racine serait plus simple à intégrer avec cette formule.
    Qu'en pensez vous?

    -----


  2. #2
    Quinto

    Re : Intégration de fractions rationnelles

    Salut,
    bon en fait j'ai essayé sur quelques exemples, en fait je comprend bien ce qui foire... on est amené à intégrer de nouvelles fractions rationnelles, mais au niveau théorique c'était plutôt joli, non?

  3. #3
    martini_bird

    Re : Intégration de fractions rationnelles

    Salut,

    trouver une primitive de u, c'est aussi intégrer l'équation différentielle f '=u...

    C'est peut-être pour ça que tu as un peu tourné en rond?!

    Amicalement.

  4. #4
    Quinto

    Re : Intégration de fractions rationnelles

    Salut, oui je m'en suis rendu compte, quand j'utilise la formule de Lagrange, je tombe sur sqrt(g)intégrale de f/g ou quelque chose comme ca, bref, je tourne en rond...

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Fractions rationnelles
    Par Rückpositiv dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 08/11/2006, 19h50
  2. Démonstration sur les fractions rationnelles
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 18
    Dernier message: 28/02/2006, 20h22
  3. [Maths] [1èreS] Dérivées et fractions rationnelles
    Par martini_bird dans le forum Exercices pour les concours et examens
    Réponses: 13
    Dernier message: 28/02/2006, 20h16
  4. Addition de fractions rationnelles
    Par maryzozo dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 21/02/2006, 17h45
  5. Primitives des fractions rationnelles
    Par Nastynas dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 14
    Dernier message: 19/11/2005, 20h42