Salut,
en me balladant sur les fora de maths, je suis tombé sur une question d'un élève qui n'arrivait pas à trouver une primitive de fraction rationnelle relativement simple.
Il suffisait de faire la division euclidienne qui était triviale, puisqu'au dénominateur on avait du x^2.
Cependant, je me suis mis à chercher une autre solution, le genre de solution que j'aurai cherché si j'avais été à sa place quelques années en arrière, je suis arrivé à ceci:
On cherche une primitive de f/g où g>0 (sinon on prend -g)
Je pose alors que cette primitive, notons la P(f/g) est du type u/v.
on a alors
(u'v-uv')/v^2=f/g
et finalement
u'v-uv'=f
v=sqrt(g) v'=g'/2sqrt(g)
ainsi on cherche u telle que
u'sqrt(g)-ug'/(2sqrt(g))=f
on divise par sqrt(g) des 2 cotés et on trouve finalement en remettant tout ca dans l'ordre:
u'=u*g'/2g+f/sqrt(g)
Ainsi, intégrer cette équation différentielle revient exactement à trouver u, et donc u/v, et finalement à intégrer f/g.
La solution générale de l'équation homogène est
uo(x)=ksqrt(g)
Reste à trouver la solution particulière, notamment avec la méthode de lagrange
Ainsi, on aurait tout "betement", notre primitive de f/g en utilisant la méthode de variation de la constante.
Je suis cependant conscient que chercher à intégrer cette équation différentielle n'est pas forcément une chose plus facile, notamment si on fait apparraitre une racine dans l'intégrale, ce que ma formule laisse supposer.
Mais pourquoi n'a t'on jamais pensé à voir les choses sous cet angle ci?
Par exemple, toute fonction du type
f/g^2, où g ne contient pas de racine serait plus simple à intégrer avec cette formule.
Qu'en pensez vous?
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