Démonstration sur les fractions rationnelles

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaie de démontrer que si F,G et Q sont des polynômes réels tels que :



pour tout x sauf ceux qui annulent Q(x), alors F(x) = G(x) quel que soit x

(suggestion : utiliser la continuité)

L'ennui c'est que si je commence à travailler avec tous les réels sauf ceux qui n'annulent pas Q je ne vois pas comment je pourrais faire pour conclure F(x) = G(x) pour tout x (vu qu'il y a d'office des réels x avec lesquels je ne travaille pas)

D'autre part je ne vois pas en quoi la continuité pourrait m'être utile ici

Voici la seule chose j'ai réussit à pondre mais à mon avis ça n'est pas bon :

:



Et j'ai donc :



Q(a) différent de zéro et F(a)/Q(a) = G(a)/Q(a) donc :



pour tout x car cette fois Q(x) n'apparaît plus (c'est pertinent ça ?)
Du coup en réarageant l'équation on a bien ce qu'on cherche, mais je pense pas que ce soit juste (c'est tordu comme raisonnement)

Vous en pensez quoi ?

merci
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[invitebb921944]

Bonjour !
Je suis désolé de ne pas comprendre la subtilité, mais pourquoi ne peut-on pas conclure dès le début en fait ?

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Il me semble que si F(x)/Q(x) = G(x)/Q(x) c'est équivalent à F(x) = G(x) sauf précisément aux points qui annulent Q(x). Comme ceux-ci sont en nombre fini, et que deux polynômes qui coïncident en un nombre plus que fini de points sont égaux...

J'utilise peut-être implicitement un résultat intuitif (et pas forcément facile), mais il me semble que le principe est bon.

-- françois

[Bleyblue]

qui coïncident en un nombre plus que fini de points sont égaux...

Ben il faudrait alors que je démontre ça aussi, je ne suis pas sensé le savoir ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[nissart7831]

La continuité sert justement pour conclure à l'égalité de F et G sur le nombre fini de points où Q s'annulle. Pour les autres points, ne te complique pas.

Pour bleyblue, le nombre de racines est fini, car :
Un polynôme P de degré n admet au plus n racines dans .

S'il y en avait n+1, alors le polynôme s'écrirait :


Il serait alors de degré n+1, ce qui est contraire à l'hypothèse de départ.

[matthias]

Ou tout simplement F-G est un polynôme qui a une infinité de racines. C'est donc le polynôme nul.
Donc si on sait déjà qu'un polynôme non nul admet un nombre fini de racines, on a plus besoin de la continuité.

[Bleyblue]

La continuité sert justement pour conclure à l'égalité de F et G sur le nombre fini de points où Q s'annulle. Pour les autres points, ne te complique pas.

Pour bleyblue, le nombre de racines est fini, car :
Un polynôme P de degré n admet au plus n racines dans .

S'il y en avait n+1, alors le polynôme s'écrirait :


Il serait alors de degré n+1, ce qui est contraire à l'hypothèse de départ.

Je le sais bien mais qu'est ce qui me dit que deux polynômes qui coïncident en un nombre plus que finit de points sont égaux ?
Ici rien ne pouve que deux polynômes différents ne peuvent pas être exactement identique sur un intervalle fermé ... si ?

merci

[Bleyblue]

Ou tout simplement F-G est un polynôme qui a une infinité de racines. C'est donc le polynôme nul.
Donc si on sait déjà qu'un polynôme non nul admet un nombre fini de racines, on a plus besoin de la continuité.

Ah oui comme ça ça irait

Tiens quelqu'un a jeté un coup d'oeil à ma démo ? Je ne sais pas ce qu'elle vaut (pas grand chose sans doute ...)

merci

[nissart7831]

Je le sais bien mais qu'est ce qui me dit que deux polynômes qui coïncident en un nombre plus que finit de points sont égaux ?
Ici rien ne pouve que deux polynômes différents ne peuvent pas être exactement identique sur un intervalle fermé ... si ?

merci

Ce n'est pas ce que je disais.

Pour les points x où Q ne s'annulle pas, on a:



soit



soit F(x) = G(x).

Pour les points où Q s'annulle, on a par continuité :



et


Or F et G coïncident dans les voisinages des (d'après ce qui précède), hormis peut être en les , donc leurs limites en ces points sont égales d'où la conclusion.

Ce n'est pas correct ça ?

[nissart7831]

Bleyblue,

Je suis d'accord, la solution de matthias est beaucoup plus rapide et concise mais
je te montrai comment utiliser la suggestion qui était faite d'utiliser la continuité (cf post #1).

[matthias]

Ce qui me gêne dans la démonstration avec la continuité, c'est que l'on fait aussi une hypothèse implicite sur les racines d'un polynôme non nul.
Pour que la démonstration avec les limites marche bien il faut supposer que pour chaque racine a de Q, il existe un voisinage de a sur lequel Q ne s'annule pas.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Il me semble bien que la démonstration du fait que "Un polynôme de degré fini n a au plus n racines (dans un corps ou même un anneau donné)", est purement algébrique. Même si ça ne veut pas dire qu'elle est facile... (voir les posts précédents dans le fil).

C'est pour ça que le polynôme nul est souvent considéré comme de degré infini: si le degré est le plus grand indice k tel que le coefficient de X^k soit différent de zéro, cet indice est "renvoyé à l'infini" pour le polynôme nul.

N.B. - C'est un peu pareil en théorie des nombres: comme zéro est divisible par n'importe quelle puissance de n'importe quel nombre premier (aargh! j'ai honte d'écrire ça), il est "légitime" d'écrire la décomposition de 0 en produit de nombres premiers comme... produit pour tous les p premiers, de p^{infini}...

Assez d'horreurs pour aujourd'hui.

-- françois

[nissart7831]

Pour que la démonstration avec les limites marche bien il faut supposer que pour chaque racine a de Q, il existe un voisinage de a sur lequel Q ne s'annule pas.

N'est ce pas le cas ?
Prenons un voisinage V de a, où Q s'annule sur des points en plus de a, alors ce nombre de points est fini (voir plus haut), donc Q ne peut s'annuller sur un intervalle contenant plus d'un point, car il aurait une infinité de racines.
On peut donc trouver un voisinage V' de a, inclus dans V, tel qu'il n'existe aucun autre point que a sur lequel Q s'annulle. Soit b la racine la plus proche de a, alors il suffit de prendre r, rayon du voisinage V' tel que r<|b-a|.

Non ?

[matthias]

Prenons un voisinage V de a, où Q s'annule sur des points en plus de a, alors ce nombre de points est fini (voir plus haut), donc Q ne peut s'annuller sur un intervalle contenant plus d'un point, car il aurait une infinité de racines.

Donc tu reviens au nombre fini de racines, et alors on n'a plus besoin de la continuité pour la démonstration.
Je ne dis pas que la démonstration n'est pas valide mais elle devient à mon avis inutilement compliquée (même si tu n'as fait ça que pour utiliser l'indication).

[Bleyblue]

Ah bon ok mais :

Or F et G coïncident dans les voisinages des xi

Mais pourquoi ? Je ne vois pas ...

merci

[nissart7831]

Donc tu reviens au nombre fini de racines, et alors on n'a plus besoin de la continuité pour la démonstration.
Je ne dis pas que la démonstration n'est pas valide mais elle devient à mon avis inutilement compliquée (même si tu n'as fait ça que pour utiliser l'indication).

OK, on est d'accord. Il faut bien utiliser le nombre fini de racines pour conclure et ta solution est largement plus séduisante (et plus économe).

[nissart7831]

Ah bon ok mais :

Or F et G coïncident sur les voisinages des xi

Mais pourquoi ? Je ne vois pas ...

merci

Sur les voisinages des , hormis en les eux-mêmes, Q ne s'annulle pas (sinon ils feraient partie des . Donc dans la première partie de la démonstration (cf post plus haut), on a démontré que sur les points où Q ne s'annulle pas, on avait égalité entre F et G. C'est ce qu'on utilise ici.

OK ?

[Bloud]

Il est vrai que la démonstration de Matthias est beaucoup plus séduisante. Mais si Bleyblue fait cet exercice pour un cours, il vaut mieux qu'il utilise celle de nissart7831 afin de respecter la suggestion(tout en gardant celle de Matthias dans un petit coin de sa tête
). ; on a beau dire ce que l'on veut, certains professeurs réagissent bizarrement qu'on ne fait pas exactement ce qu'ils ont dit, ce que j'ai toujours trouvé absurde par ailleurs.

Voilà. Quoiqu'il en soit, mon post n'apporte strictement rien à la discussion.

[Bleyblue]

OK ?

Ok je comprend bien la !

si Bleyblue fait cet exercice pour un cours, il vaut mieux qu'il utilise celle de nissart7831 afin de respecter la suggestion(tout en gardant celle de Matthias dans un petit coin de sa tête
). ; on a beau dire ce que l'on veut, certains professeurs réagissent bizarrement qu'on ne fait pas exactement ce qu'ils ont dit, ce que j'ai toujours trouvé absurde par ailleurs.

Non ce n'est pas pour un cours (et il n'est donc pas question de professeur )
Cette démo (ainsi que la suggestion) vient de mon livre.

merci à tous