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Corps totalement ordonné complet.



  1. #1
    Vassia Pupkin

    Smile Corps totalement ordonné complet.

    On sait que tout corps commutatif K totalement ordonné et posédant la propriété de la borne supérieure est isomorphe à R, l'isomorphie respectant la relation d'ordre.

    Que peut-on dire d'un corps (non nécessairement commutatif) K totalement ordonné et posédant la propriété de la borne supérieure ?

    -----


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  3. #2
    martini_bird

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Salut,

    personnellement, je ne peux pas en dire grand chose, sinon qu'il est infini.

  4. #3
    Vassia Pupkin

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Je crois qu'il faut que je précise ma question.
    On note C1 la classe des corps commutatifs totalement ordonnés et possédant la propriété de la borne supérieure. On note C2 la classe des corps totalement ordonnés et possédant la propriété de la borne supérieure. (Les relations d'ordre sont compatibles avec les opérations).
    Il est clair que C1 est inclus dans C2.
    On note ~ la relation d'équivalence définie sur C2 par : A ~ B si il existe un isomorphisme de corps entre A et B respectant la relation d'ordre.

    On sait que C1/~ a pour cardinal un. Quel est le cardinal de C2/~ ?

  5. #4
    martini_bird

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Plus simplement, combien y a-t-il, à isomorphisme près, de corps gauches totalement ordonnés et possédant la PBS?!

    Moi, je n'en sais fichtrement rien, le seul corps gauche que je connaisse étant celui des quaternions.

    D'ailleurs, un tel corps existe-t-il? :confused:

  6. #5
    Vassia Pupkin

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Tu doutes de l'existences des quaternions ?

    Ca serait bien quand même d'avoir un exemple de deux corps gauches possédant les deux propriétés mais étant non-isomorphes.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Citation Envoyé par Vassia Pupkin
    Tu doutes de l'existences des quaternions ?
    non, tu ne m'as pas compris: je parlais des corps gauche possédant la PBS.

    Citation Envoyé par Vassia Pupkin
    Ca serait bien quand même d'avoir un exemple de deux corps gauches possédant les deux propriétés mais étant non-isomorphes.
    Tu aurais un exemple d'un corps gauche possédant la PBS?

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  10. #7
    Vassia Pupkin

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Non. mais je pense qu'on doit pouvoir en trouver un en prenant une autre multiplication sur R.

  11. #8
    Gwyddon

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    oui mais il faudrais qu'il respecte l'ordre de IR, et ç'a n'est pas gagné d'avance
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    moijdikssékool

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    euh... un corps c'est forcément commutatif, non? la deuxième loi n'est pas commutative par définition sur un corps?

  13. #10
    Vassia Pupkin

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    La multiplication dans un corps n'est pas forcément commutative. Ca serait trop facile ...

    On m'a répondu sur le groupe fr.sci.maths que l'on a pas besoin de la commutativité pour montrer que K est isomorphe à R.

  14. #11
    martini_bird

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    euh... un corps c'est forcément commutatif, non? la deuxième loi n'est pas commutative par définition sur un corps?
    En français, un corps n'est pas forcément commutatif.

    Par contre, je crois qu'en anglais, le terme division algebra est préféré à field pour déigner un corps quelconque.

  15. #12
    martini_bird

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Citation Envoyé par Vassia Pupkin
    La multiplication dans un corps n'est pas forcément commutative. Ca serait trop facile ...

    On m'a répondu sur le groupe fr.sci.maths que l'on a pas besoin de la commutativité pour montrer que K est isomorphe à R.
    Un corps gauche totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieur n'existe donc pas.

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    euh... un corps c'est forcément commutatif, non? la deuxième loi n'est pas commutative par définition sur un corps?
    par exemple, le corps des quaternions est un exemple de corps non commutatif infini (de toute façon, les corps non commutatifs sont nécessairement infinis d'après le théorème de Wedderburn) ; à ce propos, quelqu'un connaîtrait-il un exemple de corps non commutatif et non-isomorphe au corps des quaternions ?

    @+
    Julien

    Add-on : le corps est constitué des nombres avec a,b,c,d réels et
    Dernière modification par Gwyddon ; 22/02/2005 à 09h11. Motif: faute de frappe dans une formule
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    martini_bird

    Re : Corps totalement ordonné complet.

    Citation Envoyé par 09Jul85
    à ce propos, quelqu'un connaîtrait-il un exemple de corps non commutatif et non-isomorphe au corps des quaternions ?
    Les octonions ?

    Mais on a perdu l'associativité
    ...

    Ok,

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