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formule intégrale de Cauchy



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    formule intégrale de Cauchy


    ------

    Bonjour, j´ai un exo d´analyse complexe où je n´ai aucune idée comment m´y prendre, enfin j´ai bien une petite idée, mais... Je ne vais pas entrer dans les détails de calculs, je voudrais juste comprendre le principe. Il s´agit d´annales d´examens. Voilà l´énoncé:

    En utilisant la formule intégrale de Cauchy, et en développant en éléments simples la fraction rationnelle concernée, calculer les intégrales suivantes:

    I =

    J =

    sur le chemin fermé Tdans le sens direct:

    T est le rectangle de sommets -1+2i, -1-2i, 3 + 2i, 3+2i

    Je ne m´intéresse d´abord qu´à la première intégrale, I.

    Je vous passe les détails de la décomplosition en éléments simples, on trouve une décomposition en (z-i)^-1, (z+i)^-1, (z-1)^1, (z-2)^-1.

    Et après? J´ai essayé une méthode qui me parait bizarre. Il s´agit d´intégrer 4 trucs de la forme

    avec a = i,-i,1 ou 2

    Je constate que dans les quatre cas, a est bien dans l´intérieur du rectangle en question, donc j´essaie d´appliquer l´intégrale de Cauchy en posant en l´occurence:

    Ind(a) = 1

    soit la fonction f, holomorphe et constante f(x) = 1. L´intégrale de Cauchy donne alors:

    f(a) =

    Alors je sais pas si cette méthode est bonne, en tous cas mon problème c´est que je trouve 0. Ça encore ça serait pas un problème, après tout c´est possible, mais ma question c´est si ma méthode est bonne car il s´agit d´un exo assez typique de mon examen.

    S´il existe d´autres méthodes plus logiques, je suis prenant.

    Merci d´avance

    Christophe

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : formule intégrale de Cauchy

    C'est la bonne méthode, et le bon résultat.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : formule intégrale de Cauchy

    merci pour cette réponse rapide.

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