Formule de parseval et intégrale de fourier

[invitec336fcef]

Bonjour, j'ai un petit souci au niveau d'un développement de fourier d'une formule. Mon but étant de trouver, avec la formulation d'une énergie émise temporellement, l'énergie émise spectralement.

Considérons l'énergie émise par unité de temps d'une particule accélérée :


avec a(t) l'accélération.
L'énergie totale émise est donc l'intégrale suivante :


Je dis ensuite que la composition spectrale de l'énergie peut être trouvée en développant l'accélération a(t) en une transformée de Fourier. Et là, impossible de conclure. Suis-je parti du mauvais pied ?

Merci à tous.
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[invite93279690]

Bonjour, j'ai un petit souci au niveau d'un développement de fourier d'une formule. Mon but étant de trouver, avec la formulation d'une énergie émise temporellement, l'énergie émise spectralement.

Considérons l'énergie émise par unité de temps d'une particule accélérée :


avec a(t) l'accélération.
L'énergie totale émise est donc l'intégrale suivante :


Je dis ensuite que la composition spectrale de l'énergie peut être trouvée en développant l'accélération a(t) en une transformée de Fourier. Et là, impossible de conclure. Suis-je parti du mauvais pied ?

Merci à tous.

Impossible de conclure quoi ?
Je vois pas où est le problème dans tes formules.

[invitec336fcef]

Ben en fait, j'aimerais écrire la même intégrale, mais cette fois, j'aimerais sommer sur l'espace des fréquences et non plus sur le temps. J'aimerais donc avoir un terme par exemple

[invite93279690]

Ben en fait, j'aimerais écrire la même intégrale, mais cette fois, j'aimerais sommer sur l'espace des fréquences et non plus sur le temps. J'aimerais donc avoir un terme par exemple

Et pourquoi tu estimes que tu peux pas le faire ?
y a peut être un truc que je vois pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Ben en fait, j'aimerais écrire la même intégrale, mais cette fois, j'aimerais sommer sur l'espace des fréquences et non plus sur le temps. J'aimerais donc avoir un terme par exemple

Je comprends pas tu peux bien définir la transformée de Fourier par :


ce qui te conduit via le théorème de Parseval à la formule :



je me trompe ?

[invitec336fcef]

Justement, ce qui me perturbe, c'est la formule de Parseval. Si tu considères que :


Comment tu fais le lien avec la transformée de Fourier que tu écris ? Je veux dire que la TF n'est pas utilisée explicitement. Ai-je besoin de cette formule ? A priori, la formule de Parseval convient simplement. Est-ce exact ?

Merci beaucoup.

[invite93279690]

Justement, ce qui me perturbe, c'est la formule de Parseval. Si tu considères que :


Comment tu fais le lien avec la transformée de Fourier que tu écris ? Je veux dire que la TF n'est pas utilisée explicitement. Ai-je besoin de cette formule ? A priori, la formule de Parseval convient simplement. Est-ce exact ?

Merci beaucoup.

Tu demandes comment est ce qu'on voit cette égalité explicitement ?
Si c'est ça alors je peut proposer un truc pas très propre mais bon.


Cela implique qu'on a :

En utilisant le théorème de Fubini pour le produit d'intégrale, on a :

En échangeant les intégrales (échange de limites non justifié bien entendu !) on trouve :


Or,



on a donc :

ce qui conduit finalement à :


J'espère que j'ai répondu à la question que tu posais

[invitec336fcef]

Oui merci.