exercice sur les groupes quotient
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exercice sur les groupes quotient



  1. #1
    invite80487107

    exercice sur les groupes quotient


    ------

    voila un exercice que j'assaié résoudre
    soit K2={k={{x^-1,0},{y,x}},(x,y) dans (C*xC)}
    et Z2={z={{1,0},{y,1}},y dans C}

    1:montrer que Z2 est invariant dans K2 et calculer K2/Z2 ??
    2: montrer que k'->xk' est une bijection de K2/Z2 sur C* ??

    -----

  2. #2
    invite80487107

    Re : exercice sur les groupes quotient

    1: I2 dans Z2 donc Z2 non vide soit z,z' dans Z2 on a z'z^-1 dans Z2 dans Z2 sous groupe de K2
    soit k dans K2 on a kzk^-1 dans Z2 donc Z2 distingué sur K2

  3. #3
    invite80487107

    Re : exercice sur les groupes quotient

    K2/Z2={g'/g dans K2}
    g'={f/gRf} gRf <=> gf^-1 dans Z2 <=> fg^-1 dans Z2 ( est ce que c vrai??)
    je suis bloquée ici

  4. #4
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Là aussi, si j'ai bien compris est l'ensemble des matrices , avec dans et est le sous-ensembles des matrices , avec dans .

    Ta démonstration de ce que est un sous-groupe invariant de est correcte, ta définition de l'ensemble quotient comme ensemble des classes aussi.

    Ce que l'on te demande de montrer dans la dernière question, c'est que tous les éléments de la classe ont même élément en deuxième ligne et deuxième colonne.

    Si je note cet élément , ce qui est légitime d'après ce qui précède, il te faut prouver que l'application est une bijection (et même un isomorphisme de groupes multiplicatifs).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite80487107

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Ce que l'on te demande de montrer dans la dernière question, c'est que tous les éléments de la classe ont même élément en deuxième ligne et deuxième colonne.

    Si je note cet élément , ce qui est légitime d'après ce qui précède, il te faut prouver que l'application est une bijection (et même un isomorphisme de groupes multiplicatifs).[/QUOT

    soit f dans K'
    x.f=x.{{x^-1,0},{y,x}}={{1,0},{x.y,x}}

  7. #6
    invite80487107

    Re : exercice sur les groupes quotient

    ce que j'ai pu faire

  8. #7
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Si , , et , peux-tu prouver que ?

  9. #8
    invite80487107

    Re : exercice sur les groupes quotient

    f . g^-1 = { {x^-1 . z , 0 },{ yz-xw , x . z^-1} }
    f . g^-1 dans Z2 => x^-1 . z =1 => x=z

    est ce que j'ai montré maintenant que tous les éléments f de la classe k' ont même élément en deuxième ligne et deuxième colonne??

  10. #9
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    est bien la transcription du fait que et sont dans la même classe, donc tu as bien démontré ce que tu voulais.

  11. #10
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    k'->x(k') = det(k)
    x(k1 . k2 )' = x.(k1)' . x.(k2)'
    ansi K2/Z2 = C*

  12. #11
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par anouar437 Voir le message
    k'->x(k') = det(k)
    C'est faux. Les matrices considérées sont de déterminant 1.

    Et il faut démontrer que l'application k'->x(k') est bijective...

  13. #12
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par joliasanaa Voir le message
    est ce que j'ai montré maintenant que tous les éléments f de la classe k' ont même élément en deuxième ligne et deuxième colonne??
    Oui, mais pas plus... reste la bijectivité :

    Injectivité : x(k') = x(g') ==> k'= g', c'est-à-dire x(k')=x(g') ==>k'.g'^-1 dans Z2

    Surjectivité : pour tout z dans C*, il existe k dans K2 tel que x(k') = z.

  14. #13
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par joliasanaa Voir le message

    soit f dans K'
    x.f=x.{{x^-1,0},{y,x}}={{1,0},{x.y,x}}
    svp explique moi comment vous avez fait ce calcule??

  15. #14
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Ce que l'on te demande de montrer dans la dernière question, c'est que tous les éléments de la classe ont même élément en deuxième ligne et deuxième colonne.

    ).
    svp Mr God's Breath je n'ai pas compris l'interet de mantrer que tous les éléments de la classe ont même élément en deuxième ligne et deuxième colonne.

  16. #15
    Médiat

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par anouar437 Voir le message
    je n'ai pas compris l'interet de mantrer que tous les éléments de la classe ont même élément en deuxième ligne et deuxième colonne.
    L'intérêt c'est de montrer l'existence de la bijection entre l'ensemble quotient et (la définition passe par un élément de la classe, il est donc vital que tous les éléments de la classe aient la même image).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  17. #16
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Injectivité : x(k') = x(g') ==> k'= g', c'est-à-dire x(k')=x(g') ==>k'.g'^-1 dans Z2

    Surjectivité : pour tout z dans C*, il existe k dans K2 tel que x(k') = z.
    x(k') = x(g') ==> k'= g' ici je vois l'implication par ce que x est inversible x dans C*

    x(k')=x(g') ==>k'.g'^-1 dans Z2
    je crois k' et g' sont deux classe différent D’ou vient cette implication??
    on a juste g dans k' => k.g^-1 dans Z2 n'est ce pas ??

  18. #17
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    voila mon problème :
    on a l'ensemble quotient K2/Z2 C’est l'ensemble des matrices carrées vérifiant une certaine propriété
    k'->xk'
    ici k' c'est une classe ( ensemble de matrice carrée...) x complexe non nul
    comment xk' dans C* ???

    je n'arrive pas comprendre

  19. #18
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    et pour la surjection comment assurer l'existance de k' tel que xk'=z ???

  20. #19
    Médiat

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par anouar437 Voir le message
    voila mon problème :
    on a l'ensemble quotient K2/Z2 C’est l'ensemble des matrices carrées vérifiant une certaine propriété
    k'->xk'
    ici k' c'est une classe ( ensemble de matrice carrée...) x complexe non nul
    comment xk' dans C* ???

    je n'arrive pas comprendre
    God's Breath l'a bien noté x(k') et non xk', il faut comprendre que x(k') = l'élément de la deuxième colonne de la deuxième ligne d'une matrice de k' (c'est à dire le réel non nul qui définit la classe k', puisqu'à l'intérieur d'une classe toutes les matrices on le même élément à cette place là).

    NB : prendre l'élément de la première ligne, première colonne revient au même, bien sur.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #20
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par anouar437 Voir le message
    x(k') = x(g') ==> k'= g' ici je vois l'implication par ce que x est inversible x dans C*
    Attention, x est une application dans , pas un nombre complexe. Les éléments de la classe sont les , avec , donc inversible, ce qui n'a rien à voir avec la bijectivité de l'application .

  22. #21
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par anouar437 Voir le message
    x(k')=x(g') ==>k'.g'^-1 dans Z2
    je crois k' et g' sont deux classe différent D’ou vient cette implication??
    on a juste g dans k' => k.g^-1 dans Z2 n'est ce pas ??
    Il y a une faute de frappe, c'est effectivement

  23. #22
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Merci beaucoup j'ai mal compris l'exercice je vais le refaire maintenant

  24. #23
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    k' = { g / k R g }
    ici k et g ont les memes éléments sur la diagonal ???

  25. #24
    invite57a1e779

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Oui, les éléments d'une classe ont mêmes éléments sur la diagonale, et réciproquement, deux éléments qui ont mêmes éléments sur la diagonale sont dans une même classe. C'est ce qui fait l'isomorphisme entre K2/Z2 et C*.

  26. #25
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    si j'ai bien compris
    si on prent g un élément de la classe k' on a x(g)=x(k') ???

  27. #26
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    mais non je vois pas

  28. #27
    Médiat

    Re : exercice sur les groupes quotient

    Citation Envoyé par anouar437 Voir le message
    si j'ai bien compris
    si on prent g un élément de la classe k' on a x(g)=x(k') ???
    On peut dire les choses de façon plus dramatique :
    Si x(g) n'était par le même pour tous les éléments de k', alors l'écriture x(k') n'aurait pas de sens.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #28
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    peut on connaitre la classe k' si on connait x(k') ??

  30. #29
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    soit h' et k' deux classe de K2/Z2
    h' != k' <=> x(h') != x(k') ???

    " != différent "

  31. #30
    invite770b3cad

    Re : exercice sur les groupes quotient

    J’ai relis le raisonnement dès le début enfin j’ai compris merci beaucoup

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